Raggio di convergenza

In analisi matematica, il raggio di convergenza è un numero non negativo (non necessariamente finito) associato a una serie di potenze a coefficienti reali o complessi che, intuitivamente, informa sul comportamento globale della serie in materia di convergenza. Più in dettaglio, il raggio di convergenza misura l'estensione dell'aperto più grande su cui la serie converge.

Definizione

Sia $S : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ la serie di potenze definita sul campo complesso:

$S(z) = \sum_{k=0}^{+\infty}{a_k(z - z_0)^k}$

Sia $E$ l'insieme di convergenza puntuale della serie, ossia

$E := \{ z \in \mathbb{C} : S(z) \text{ converge } \}$.

L'insieme contiene almeno l'origine $z_0$, perché $S(z_0) = a_0$; si definisce allora raggio di convergenza della serie il numero reale:

$r := \sup\{|z - z_0| : z \in E\}$,

cioè il modulo del numero complesso più distante da $z_0$ in cui la serie converge puntualmente; per come è definito, $r$ esiste e non può essere negativo, ma può valere $+ \infty$ nel caso in cui $E$ non sia limitato.

Nel caso reale, $r$ è semplicemente l'estremo superiore dell'insieme $E$.

Proprietà

Si può dimostrare che, se $r$ è il raggio di convergenza della serie $S$:

1. Se $r = 0\,$, $S$ converge solo nell'origine;
2. Se $0 < r < + \infty$, $S$ converge assolutamente sul cerchio aperto $B = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < r \}$ e converge uniformemente in ogni insieme compatto incluso in $B$, mentre non converge in $z$ se $|z| > r\,$;
3. Se $r = +\infty$, $S$ converge assolutamente sull'intero piano complesso, e uniformemente su ogni suo sottoinsieme compatto.

La sola conoscenza del raggio di convergenza, quindi, determina quasi tutte le informazioni sulla convergenza della serie; tuttavia, la conoscenza di $r$ non basta per conoscere il comportamento della serie sulla circonferenza $\delta B = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = r \}$; esistono infatti serie che hanno il medesimo raggio di convergenza, ma comportamento diverso sull'insieme $\delta B$.

Esempi

Per semplicità, si trattano esempi di serie definite sul campo reale. Le seguenti tre serie hanno il medesimo raggio di convergenza, ma diverso comportamento sulla frontiera del loro insieme di convergenza puntuale.

• La serie geometrica $S : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ così definita:

$S(x) := \sum_{i=0}^{+\infty}{x^k}$

ha raggio di convergenza $r = 1$, e converge sull'insieme aperto $E = (-1,1)$. La convergenza è assoluta su tutto l'insieme.

• La serie $S : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ così definita:

$S(x) := \sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{x^k}{k}}$

ha raggio di convergenza $r = 1$, e converge sull'insieme $E = [-1,1)$ (si può verificare la convergenza in $x=-1$ tramite il criterio di Leibniz). La convergenza in $x=-1$ non è assoluta, mentre lo è all'interno di $E$.

• La serie $S : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ così definita:

$S(x) := \sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{x^k}{k^2}}$

ha raggio di convergenza $r = 1$, e converge sull'insieme chiuso $E = [-1,1]$. La convergenza è assoluta su tutto l'insieme.

Calcolo del raggio di convergenza

Esiste un metodo piuttosto semplice per calcolare il raggio di convergenza di una serie, basato su un'analisi dei coefficienti della serie stessa. Sia infatti $S$ come sopra, e sia $\{a_k\}_k$ la successione dei suoi coefficienti. Sia $\ell$ il limite superiore della successione $\{|a_k|^{\frac{1}{k}}\}_k$:

$\ell := \underset{k \to +\infty}{\limsup}{\sqrt[k]{|a_k|}}$;

evidentemente, $\ell \ge 0$. Si può dimostrare che:

1. Se $\ell = 0$, allora $r = + \infty$;
2. Se $0< \ell < +\infty$, allora $r = \frac{1}{\ell}$;
3. Se $\ell = +\infty$, allora $r = 0\,$.

Inoltre, se esiste il limite $\ell^{\prime}$ della successione $\{\frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}\}_k$ dei rapporti dei coefficienti consecutivi (che devono però essere in questo caso definitivamente non nulli), vale lo stesso risultato di cui sopra con $\ell^{\prime}$ anziché $\ell$.

Teorema di Abel

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Abel.

Il teorema di Abel per le serie di potenze assicura che, se una serie di potenze è convergente in un punto della frontiera del suo insieme di convergenza, allora la serie è anche continua in quel punto. Una seconda formulazione del teorema garantisce la convergenza uniforme su ogni intervallo compatto contenuto in $(-r, r]$, avendo per ipotesi la convergenza puntuale della serie nel punto $r$.

Bibliografia

• C. Maderna, Analisi Matematica 2 (nuova edizione), Novara, Città Studi Edizioni, 2010. ISBN 978-88-251-7353-6.

Voci correlate

• Successioni di funzioni
• Serie di funzioni
• Serie di potenze
• Serie di Taylor
• Teorema di Abel

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