Serie di Laurent

Una serie di Laurent è definita rispetto ad un particolare punto c e ad un percorso di integrazione γ. Tale percorso deve essere contenuto in una corona circolare (qui mostrata in rosso) al cui interno f(z) sia olomorfa.

In matematica, la serie di Laurent di una funzione complessa f(z) è una rappresentazione di tale funzione in serie di potenze che include termini di grado negativo. Questa rappresentazione può essere utilizzata per esprimere una funzione complessa qualora lo sviluppo in serie di Taylor non possa essere applicato. La serie di Laurent venne resa nota per la prima volta da Pierre Alphonse Laurent (da cui prende il nome) nel 1843. In realtà fu Karl Weierstrass a scoprirla per primo nel 1841, ma non pubblicò i suoi risultati.

La serie di Laurent per una funzione complessa f(z) in un punto $c$ è data da:

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n$

Dove a_n sono termini costanti, definiti da un integrale di linea che è una generalizzazione della formula integrale di Cauchy:

$a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,$

Il percorso di integrazione γ è preso in verso antiorario intorno ad una curva chiusa semplice (non si interseca con sé stessa), che circonda $c$ e che giace all'interno di una corona circolare A in cui f(z) è olomorfa. Lo sviluppo di f(z) è valido ovunque all'interno della corona. La corona è evidenziata in rosso nella figura a destra, insieme ad un esempio di possibile percorso di integrazione, qui chiamato γ. In pratica, questa formula è utilizzata molto raramente perché gli integrali presenti sono, in generale, difficili da valutare; tipicamente si costruisce la serie di Laurent a partire da combinazioni di sviluppi di Taylor già noti. I numeri a_n e c vengono in genere considerati complessi, sebbene esistano altre possibilità, come riportato di seguito.

La parte negativa della serie di Laurent viene detta parte principale della serie, mentre quella positiva, parte regolare.

Serie di Laurent convergente

La serie di Laurent a coefficienti complessi è uno strumento importante in analisi complessa, in particolare per comprendere il comportamento di funzioni nei pressi delle loro singolarità.

e^-1/x² e le sue approssimazioni secondo Laurent: vedi legenda nel testo. L'approssimazione diviene sempre più accurata aumentando il grado negativo della serie di Laurent.

Si consideri ad esempio la funzione f(x) = e^−1/x² e sia f(0) = 0. Come funzione reale, questa è differenziabile ovunque infinite volte; come funzione complessa essa non è differenziabile in x = 0. Sostituendo x con −1/x² nella serie di potenze della funzione esponenziale, si ottiene la sua serie di Laurent che converge ed è uguale a f(x) per tutti i numeri complessi x eccetto la singolarità x=0. Il grafico mostra e^−1/x² in nero e le sue approssimazioni secondo Laurent

$\sum_{j=0}^n(-1)^j\,{x^{-2j}\over j!}$

per n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 50. Se n → ∞, l'approssimazione diviene esatta per tutti i numeri (complessi) x eccetto la singolarità x = 0.

In generale, la serie di Laurent può essere usata per esprimere funzioni olomorfe definite in una corona circolare, così come la serie di potenze è usata per esprimere funzioni olomorfe definite all'interno di un cerchio.

Si supponga che

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n ( z - c )^n$

sia una data serie di Laurent a coefficienti complessi a_n e che c sia il centro complesso. Allora esiste un unico raggio interno r e un unico raggio esterno R tale che:

• La serie di Laurent converge nella corona aperta A := {z : r < |z − c| < R}. Per convergenza della serie di Laurent, si intende che sia la serie di potenze di grado positivo sia la serie di potenze a grado negativo convergano. Inoltre, questa convergenza è uniforme su uno spazio compatto. Infine, la serie convergente definisce una funzione olomorfa f(z) sulla corona aperta.
• Fuori dalla corona, la serie di Laurent diverge. Questo equivale a dire che, in ogni punto esterno ad A, la serie di grado positivo o quella a grado negativo divergono.
• Sui punti di frontiera della corona, non è possibile fare considerazioni di carattere generale.

È possibile che r sia zero o R sia infinito; d'altra parte non è necessariamente vero che r sia minore di R. Questi raggi possono essere calcolati come segue:

$r = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_{-n}|^{1 \over n}$

${1 \over R} = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_n|^{1 \over n}$

Si considera R infinito se l'ultimo limite superiore è zero.

Per contro, se si parte da una corona del tipo A = {z : r < |z − c| < R} e da una funzione olomorfa f(z) definita su A, allora esiste sempre un'unica serie di Laurent centrata in c che converge (almeno) su A e rappresenta la funzione f(z).

Esempio

A titolo di esempio, sia

$f(z) = {1 \over (z-1)(z-2i)}$

Questa funzione ha singolarità in z = 1 e z = 2i, punti nei quali il denominatore dell'espressione si annulla e la funzione non è definita. Una serie di Taylor in z = 0 (che dà una serie di potenze) converge unicamente in un disco di raggio 1, dato che "incontra" la singolarità in 1.

Però, ci sono tre possibili sviluppi secondo Laurent in z = 0, a seconda di dove si trovi z.

• Una è definita sul cerchio dove |z| < 1; e coincide con la serie di Taylor,

$f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{(2i)^{k+1}}-1\right)z^k$.

• Un'altra è definita nella corona in cui 1 < |z| < 2, compresa tra le due singolarità,

$f(z) = \frac{1+2i}{5} \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{z^k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2i)^{k+1}}z^k\right)$.

• La terza è definita sulla corona circolare infinita dove 2 < |z| < ∞,

$f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=1}^\infty \frac{1-(2i)^{k-1}}{z^k}$.

Esempio

Trovare la serie di Laurent in potenze di $z - i$ di

$\frac{1}{z^2 + 1}.$

Dapprima notiamo che

$\frac{1}{z^2 + 1} =\frac{1}{(z-i)(z+i)}.$

allora riscriviamo

$\frac{1}{z + i} = \frac{1} {2i + (z -i)}= -\frac{i} {2}\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}.$

L'ultima frazione può essere espansa in serie geometrica per $z$ vicino a $i,$:

$\frac{1}{1-\frac{i}{2}(z - i)}=1+\frac{i}{2}(z - i)+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^2+\left(\frac{i}{2}(z - i)\right)^3+\ldots.$

Sostituiamo questo sviluppo nell'espressione di $1/(z + i)$ e dividiamo per $z - i$ entrambi i membri: otteniamo infine

$\frac{1}{z^2 + 1}=-\left(\frac{i}{2}\right)\frac{1}{z-i}-\left(\frac{i}{2}\right)^2-\left(\frac{i}{2}\right)^3(z-i)-\left(\frac{i}{2}\right)^4(z-i)^2-\ldots.$

Serie di Laurent e residui

Il caso r = 0, cioè una funzione olomorfa f(z) che non è definita in un singolo punto c, è particolarmente importante.
Il coefficiente a₋₁ dello sviluppo secondo Laurent di tale funzione è chiamato residuo di f(z) nella singolarità c; questo riveste grande importanza nel teorema dei residui.

Esempio

Come esempio, si consideri

$f(z) = {e^z \over z} + e^{1 \over z}.$

Questa funzione è olomorfa ovunque tranne in z = 0. Per determinare lo sviluppo secondo Laurent in c = 0, si usi la nota serie di Taylor della funzione esponenziale:

$f(z) = \cdots + \left ( {1 \over 3!} \right ) z^{-3} + \left ( {1 \over 2!} \right ) z^{-2} + 2z^{-1} + 2 + \left ( {1 \over 2!} \right ) z + \left ( {1 \over 3!} \right ) z^2 + \left ( {1 \over 4!} \right ) z^3 + \cdots$

si osserva che il residuo è 2.

Considerazioni

La serie di Laurent ha importanti proprietà nell'analisi complessa. Consideriamo la serie di Laurent di una funzione $f(z)$ nel dominio anulare $R_1 < |z - z_0| < R_2$, dove ovviamente $R_1, R_2$ sono i due raggi del dominio anulare di convergenza di centro $z_0$:

$f(z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$

con

$a_n = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} \frac{f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} d \xi$

dove ancora C è una curva regolare che appartiene al dominio anulare e che circonda $z_0$.

Ricordiamo che i coefficienti $a_n$ non sono in generale la rappresentazione di Cauchy delle derivate n-esime della funzione come nel caso di Taylor, a meno che $z_0$ non sia un punto regolare allora la serie di Laurent coinciderebbe con la serie di Taylor.

Serie di Laurent e singolarità

• Nel caso in cui tutti i coefficienti negativi della serie di Laurent siano nulli, la serie di Laurent coinciderebbe con la serie di Taylor, cioè $z_0$ sarebbe sicuramente un punto regolare e il dominio anulare diverrebbe un cerchio di convergenza. Questo vale anche inversamente: se $z_0$ non fosse un punto singolare per la funzione allora la funzione integranda dei coefficienti sarebbe analitica entro C e l'integrale di $a_n$ sarebbe nullo, annullando così tutti i coefficienti di ordine negativo.

• La serie di Laurent si potrebbe fermare nella parte negativa per un certo $n = -k$, allora il punto $z_0$ è un polo di ordine k per la funzione, infatti la serie partirebbe dal lato negativo:

$f(z) = \frac{a_{-k}}{(z-z_0)^k} + \frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k+1}} + \dots + a_0 + a_1 (z-z_0) + a_2 (z - z_0)^2$

e quindi

$\lim_{z \to z_0} f(z) (z - z_0)^k = a_{-k}$

che è la definizione di polo di ordine k.

• Se la serie di Laurent non si ferma dalla parte negativa allora il punto $z_0$ sarebbe una singolarità essenziale non essendo né un punto di diramazione (nell'ipotesi in cui $f(z)$ sia monodroma), né un polo e né una singolarità eliminabile.

Bibliografia

• (EN) Henri Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, Dover Publications, ISBN 0486685438

Voci correlate

• Singolarità isolata
• Polo (analisi complessa)
• Residuo (analisi complessa)
• Serie complesse
• Serie formale di potenze
• Trasformata zeta

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