Limite superiore e limite inferiore

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Limite superiore e limite inferiore.

In matematica vengono presi in considerazioni due tipi di costruzioni, chiamate rispettivamente limite inferiore (o anche minimo limite) e limite superiore (o anche massimo limite) che rispetto a quella di limite sono più deboli ma di attuazione più generale e che possono essere utili per trattare varie questioni sui limiti. Le due nozioni si introducono per funzioni a valori reali, per successioni di insiemi e, in generale, per funzioni aventi come codominio un insieme parzialmente ordinato. Nel caso più semplice di una successione di numeri reali queste due nozioni servono a "limitare" il codominio di questa funzione, cioè la regione nella quale si trovano "definitivamente" i componenti della successione.

Limite inferiore e superiore di una successione[modifica | modifica sorgente]

Sia {x_n} una successione di numeri reali, siano:

b_k = \sup \{x_k,x_{k+1}, \dots \} \quad k=1,2,\dots
\beta = \inf \{b_1,b_2, \dots \}

Allora \beta è il limite superiore di {x_n}:[1]

\beta = \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big) = \inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}

Si nota che:

\lim_{k\to\infty} b_k = \beta

ed esiste una sottosuccessione {x_{n_i}} di {x_n} tale che:

\lim_{i\to\infty} x_{n_i} = \beta

e \beta è il più grande numero che gode di tale proprietà.

In modo analogo si definisce il limite inferiore di una successione:[2]

\liminf_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big) = \sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}

Talvolta per indicare i limiti superiore e inferiore si usa la notazione:

\varliminf_{n\to\infty}x_n:=\liminf_{n\to\infty}x_n \quad \varlimsup_{n\to\infty}x_n:=\limsup_{n\to\infty}x_n

Se gli elementi della successione appartengono ad un insieme parzialmente ordinato del quale esistano gli estremi superiore e inferiore, i limiti superiore e inferiore esistono sempre, e si ha:

 - \limsup_{n\rightarrow\infty}(-x_n) = \liminf_{n\to\infty}x_n

Se la successione {x_n} converge si ha:[2]

 \limsup_{n\rightarrow\infty}(x_n) = \liminf_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}x_n

Le nozioni di limite inferiore e superiore sono collegate alla O-grande, in quanto tali entità forniscono delle restrizioni ai valori della successione soltanto al limite. In alternativa, avendo introdotto i concetti di valore limite e classe limite, i limiti superiore e inferiore di una successione possono essere definiti semplicemente come il massimo ed il minimo della classe limite di tale successione, che si dimostra esistere sempre.

Limiti inferiore e superiore di una funzione reale[modifica | modifica sorgente]

Sia f:A \rightarrow \R una funzione definita in un sottoinsieme A di un qualsiasi spazio topologico, sia x_0 un punto di accumulazione e I(x_0) la famiglia di intorni di x_0 in A. Il limite inferiore di una funzione reale per x \rightarrow x_0 viene definito come:

\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)=\sup_{U\in I (x_0)}\, \left[\inf_{x\in U \cap A \setminus \{x_0\}}f(x)\right]=\sup\{\,\inf\{f(x) : x\in U \cap A \setminus \{x_0\}\} : U \in I(x_0)\}

Intuitivamente, il limite inferiore di f per xx_0 è il valore massimo, al variare dell'intorno di x_0, del più piccolo valore che la funzione assume in un singolo intorno.

Il limite superiore di una funzione reale per x \rightarrow x_0 viene definito analogamente:

\limsup_{x\rightarrow x_0}f(x)=\inf_{U\in I (x_0)}\, \left[\sup_{x\in U \cap A \setminus \{x_0\}}f(x)\right]=\inf\{\,\sup\{f(x) : x\in U \cap A \setminus \{x_0\}\} : U \in I(x_0)\}

Esso corrisponde dunque al valore più piccolo tra i valori massimi che la funzione assume in ogni intorno del punto.

Caratteristiche e proprietà[modifica | modifica sorgente]

Sfruttando le definizioni degli algoritmi di estremo superiore e inferiore, valgono queste caratteristiche dei due limiti, cioè

\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)=m \in \R \Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} \forall \,\varepsilon > 0 \,\exists \,U_\varepsilon \in I(x_0) : \forall \,x \in \,U_\varepsilon \cap A \setminus \{x_0\} \Rightarrow f(x) > m - \varepsilon \\ \forall \,\varepsilon > 0 \,\forall \,U_\varepsilon \in I(x_0) \,\exists \,x \in U_\varepsilon \cap A \setminus \{x_0\} : f(x) < m + \varepsilon \end{matrix}\right.

La prima riga afferma che definitivamente ogni livello più basso di m è invalicabile, cioè tutto un intorno di x_0 ha immagini maggiori di m - \varepsilon (corrispondente alla proprietà di essere un estremo superiore); la seconda che in ogni intorno si può trovare una x con immagine arbitrariamente vicina a m (dovuta all'essere un estremo inferiore).

Nel caso infinito, valgono invece queste proprietà:

\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)=-\infty \Longleftrightarrow \forall K > 0\, \forall \,U \,\in I(x_0) \,\exists \,x \,\in U \cap A \setminus \{x_0\} : f(x) < -K
\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty \Longleftrightarrow \forall K > 0 \,\forall \,U \in I(x_0) \,\exists \,x \in U \cap A \setminus \{x_0\} : f(x) > K

Le proprietà per il massimo limite si ricavano analogamente.

Inoltre, al contrario del limite, limite inferiore e superiore esistono sempre, in quanto calcolate con algoritmi di estremo superiore e estremo inferiore su insiemi reali. Vale inoltre che:

\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)\leq\limsup_{x\rightarrow x_0}f(x)

e l'uguaglianza sussiste se e solo se esiste in R^* il limite \lim_{x\rightarrow x_0}f(x), che sarà uguale al valore comune di \liminf e \limsup.

Convergenza delle successioni di numeri reali[modifica | modifica sorgente]

Si osserva che le definizioni precedenti hanno senso in ogni insieme parzialmente ordinato nel quale esistano gli estremi superiori e inferiori. Questo induce a estendere le definizioni a successioni aventi i componenti in ambienti più "esotici" dell'insieme dei numeri reali. In ogni reticolo completo esistono i sup e gli inf di qualsiasi sottoinsieme: quindi risulta particolarmente interessante considerare i limiti inferiore e superiore delle sequenze di elementi di reticoli completi.

Si osserva anche che l'insieme dei numeri reali \R non costituisce un reticolo completo, ma che si ottiene la sua completezza aggiungendogli l'infinito negativo e il positivo: in effetti l'insieme [-\infty,\infty] costituisce un insieme totalmente ordinato completo.

In questo ambiente una successione \{x_n : n\in\mathbb{N}\} converge se e solo se \liminf x_n = \limsup x_n, e in tale caso \lim x_n è uguale al loro comune valore (si osserva che quando si opera nel solo \R, non si prende in considerazione come convergenza la "convergenza" a -\infty o a +\infty).

Come esempio si consideri la sequenza data da x_n = \sin n. In virtù del fatto che pi greco è un numero irrazionale, si dimostra che \liminf x_n = -1 e \limsup x_n = +1.

Se I \equiv \liminf x_n e S \equiv \limsup x_n , allora l'intervallo [I, S] potrebbe non contenere nessuno dei numeri x_n, ma ogni ampliamento anche molto piccolo ma fissato [I-\epsilon, S+\epsilon] (dipendente da un \epsilon > 0 "arbitrariamente piccolo") contiene gli x_n, al più ad eccezione di un insieme finito di indici n. In effetti l'intervallo [I, S] è il più piccolo intervallo chiuso con questa proprietà.

Un esempio tratto dalla teoria dei numeri riguarda:

\liminf_n(p_{n+1}-p_n)

dove con p_n si denota l'n-esimo numero primo. Il valore di questo limite inferiore si è congetturato essere 2 (questa è la congettura dei numeri primi gemelli), ma finora non è stato neppure provato che tale limite sia finito.

Successioni di insiemi[modifica | modifica sorgente]

L'insieme delle parti P(X) di un insieme X costituisce un reticolo completo e talora risulta utile prendere in considerazione i limiti superiore e inferiore di successioni in P(X), cioè successioni di sottoinsiemi di X. Se X_n è una tale successione, allora un elemento a di X appartiene a \liminf X_n se e solo se esiste un intero naturale n_0 tale che a appartiene ad X_n per tutti gli n > n_0. L'elemento a appartiene a \limsup X_n se e solo se per ogni intero naturale n_0 esiste un indice n > n_0 tale che a appartiene a X_n. In altre parole,\limsup X_n consiste di quegli elementi che si trovano in insiemi della forma X_n per una infinità di n, mentre \liminf X_n consiste di quegli elementi che sono esclusi al più da un numero finito di X_n.

Usando le notazioni usuali della teoria degli insiemi, l'infimo di una successione di insiemi è l'intersezione numerabile degli insiemi, cioè il più esteso insieme incluso in tutti gli insiemi da intersecare:

\inf\left\{\,X_n : n=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{n=1}^\infty}X_n

La successione \{I_n : n\in\mathbb{N}\}, dove con I_n si denota l'infimo degli insiemi con indice maggiore o uguale a n, è non decrescente, in quanto I_n \subset I_{n+1} . Quindi l'unione degli infimi relativi agli indici da 1 a n è uguale all'n-esimo infimo. Facendo andare questa successione di insiemi al limite:

\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)

Il limsup può essere definito simmetricamente. Il supremo di una successione di insiemi è il più piccolo insieme che contiene tutti gli insiemi, cioè l'unione numerabile degli insiemi.

\sup\left\{\,X_n : n=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{n=1}^\infty}X_n

Il limsup è invece la intersezione numerabile di questa successione non crescente (ogni supremo è un sottoinsieme del supremo che lo precede)

\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)

Per un esempio vedi lemma di Borel-Cantelli. Quando questi due insiemi coincidono si parla di insieme limite della successione (X_n)_n.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 13
  2. ^ a b W. Rudin, op. cit., Pag. 14

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) H. Amann, Escher, Joachim, Analysis, Basel; Boston: Birkhäuser, 2005, ISBN 0-8176-7153-6.
  • (EN) Mario O González, Classical complex analysis, New York: M. Dekker, 1991, ISBN 0-8247-8415-4.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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