Funzioni di Lauricella

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In matematica per serie ipergeometriche di Lauricella o funzioni di Lauricella si intendono quattro serie ipergeometriche di tre variabili introdotte e studiate da Giuseppe Lauricella nel 1893.

Definizioni[modifica | modifica sorgente]


F_A^{(3)}(a,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3;x_1,x_2,x_3) = 
 \sum_{i_1,i_2,i_3=0}^{\infty} \frac{(a)_{i_1+i_2+i_3} (b_1)_{i_1} (b_2)_{i_2} (b_3)_{i_3}}
                                    {(c_1)_{i_1} (c_2)_{i_2} (c_3)_{i_3}i_1! i_2! i_3!}
                               x_1^{i_1}x_2^{i_2}x_3^{i_3}

F_B^{(3)}(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c;x_1,x_2,x_3) = 
 \sum_{i_1,i_2,i_3=0}^{\infty} \frac{(a_1)_{i_1} (a_2)_{i_2} (a_3)_{i_3}
                                     (b_1)_{i_1} (b_2)_{i_2} (b_3)_{i_3}}
                                    {(c)_{i_1+i_2+i_3} i_1! i_2! i_3!}
                               x_1^{i_1}x_2^{i_2}x_3^{i_3}

F_C^{(3)}(a,b,c_1,c_2,c_3;x_1,x_2,x_3) = 
 \sum_{i_1,i_2,i_3=0}^{\infty} \frac{(a)_{i_1+i_2+i_3} (b)_{i_1+i_2+i_3}}
                                    {(c_1)_{i_1} (c_2)_{i_2} (c_3)_{i_3}i_1! i_2! i_3!}
                               x_1^{i_1}x_2^{i_2}x_3^{i_3}

F_D^{(3)}(a,b_1,b_2,b_3,c;x_1,x_2,x_3) = 
 \sum_{i_1,i_2,i_3=0}^{\infty} \frac{(a)_{i_1+i_2+i_3} (b_1)_{i_1} (b_2)_{i_2} (b_3)_{i_3}}
                                    {(c)_{i_1+i_2+i_3} i_1! i_2! i_3!}
                               x_1^{i_1}x_2^{i_2}x_3^{i_3}

dove (a)_{i} denota il simbolo di Pochhammer, cioè

(a)_{i} := a (a+1) \dots (a+i-1). \,

Lauricella ha anche indicata l'esistenza di altre dieci interessanti funzioni ipergeometriche di tre variabili. Queste sono state individuate e studiate da Saran nel 1954. Si parla anche delle 14 funzioni ipergeometriche di Lauricella-Saran.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Le quattro serie introdotte da Lauricella si possono estendere direttamente ad altrettante funzioni di n variabili come segue.

   F_A^{(n)}(a,b_1,\ldots,b_n,c_1,\ldots,c_n;x_1,\dots,x_n) = \sum_{i_1,\ldots,i_n=0}^{\infty} \frac{(a)_{i_1+\ldots+i_n} (b_1)_{i_1} \ldots (b_n)_{i_n}} {(c_1)_{i_1} \ldots (c_n)_{i_n} i_1! \ldots i_n!} x_1^{i_1}\ldots x_n^{i_n}


    F_B^{(n)}(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_3,c;x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i_1,\ldots,i_n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_{i_1} \ldots (a_n)_{i_n} (b_1)_{i_1} \ldots (b_n)_{i_n}} {(c)_{i_1+\ldots+i_n} i_1! \ldots i_n!} x_1^{i_1}\ldots x_n^{i_n}


    F_C^{(n)}(a,b,c_1,\ldots,c_n;x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i_1,\ldots,i_n=0}^{\infty} \frac{(a)_{i_1+\ldots+i_n} (b)_{i_1+\ldots+i_n}} {(c_1)_{i_1} \ldots (c_n)_{i_n}i_1! \ldots i_n!} x_1^{i_1}\ldots x_n^{i_n}

    F_D^{(n)}(a,b_1,\ldots,b_n,c;x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i_1,\ldots,i_n=0}^{\infty} \frac{(a)_{i_1+\ldots+i_n} (b_1)_{i_1} \ldots (b_n)_{i_n}} {(c)_{i_1+\ldots+i_n} i_1! \ldots i_n!} x_1^{i_1}\ldots x_n^{i_n}

Talora il termini serie ipergeometriche di Lauricella denota queste stesse serie.

Riduzioni[modifica | modifica sorgente]

Quando si riducono le variabili a due si ottengono le serie ipergeometriche di Appell come segue:

F_A\equiv F_2 ,\, F_B\equiv F_3 ,\, F_C\equiv F_4 ,\, F_D\equiv F_1.

Se ci si riduce ad una variabile tutte le quattro funzioni si riducono alla serie ipergeometrica di Gauss

\,_2F_1(a;b;c;x).

Queste definizioni sono generalizzazioni della definizione della serie ipergeometrica.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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