Serie convergente

In matematica, una serie convergente è una serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione a_n, la serie $\sum_{i=0}^\infty a_i$ è convergente se la successione

$S_n=\sum_{i=0}^n a_i$

ha un limite finito, cioè se esiste S tale che per ogni $\epsilon>0$ esiste N tale che per ogni n>N

$|S_n-S|<\epsilon$

Il numero S è detto somma della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare; le serie convergenti formano quindi uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Una serie non convergente è detta divergente.

Esempi

• Un esempio tipico di serie convergente è la serie geometrica di parametro q<1: ad esempio

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}=2$

• Anche la somma degli inversi dei quadrati converge (trovare il suo limite è stato il famoso problema di Basilea):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

• Mediante lo sviluppo in serie di Taylor è possibile mostrare che

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5} -\cdots = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{4}$

• Una serie non convergente è invece la serie dei reciproci dei numeri primi (dimostrazione):

  $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots = \sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p}$

Assoluta convergenza

Una serie è detta assolutamente convergente se converge la serie dei valori assoluti, cioè se la serie

$\sum_{i=0}^\infty |a_i|$

converge.

Si dimostra facilmente che una serie assolutamente convergente è convergente: infatti, se si definiscono due nuove successioni

$b_n=\begin{cases}a_n \mathrm{~se~}a_n>0\\ 0\mathrm{~altrimenti}\end{cases}$

$c_n=\begin{cases}-a_n \mathrm{~se~}a_n<0\\ 0\mathrm{~altrimenti}\end{cases}$

risulta evidente che le loro serie $\sum_{i=0}^\infty b_i$ e $\sum_{i=0}^\infty c_i$ sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore o uguale del corrispondente termine di |a_n|. Quindi la loro differenza è anch'essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché $a_n=b_n-c_n$

Il viceversa non è vero: la serie

• $-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots = \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{1}{n}$

converge a $-\ln 2$, ma la serie dei valori assoluti

• $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty+\frac{1}{n}$

è la serie armonica, che diverge.

Criteri di convergenza

Per approfondire, vedi la voce criteri di convergenza.

Per stabilire se una serie converge o meno è possibile usare dei criteri di convergenza, che consentono spesso di stabilire velocemente il carattere di una serie (specialmente se è a termini positivi, cioè se $S_n>S_{n-1}$ per ogni n sufficientemente grande) senza tuttavia permettere di calcolarne effettivamente la somma.

Il metodo principale, che viene usato per dimostrare molti altri è il criterio del confronto: se $\sum_{i=0}^\infty a_i$ e $\sum_{i=0}^\infty b_i$ sono due serie a termini positivi tali che $b_i>a_i$ per ogni n sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima. Inversamente, se la prima diverge così farà la seconda.

Altri criteri molto usati sono il criterio del rapporto e il criterio della radice: nel primo si studia il comportamento della quantità $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, mentre nel secondo della quantità $\sqrt[n]{a_n}$ al tendere di n a infinito. In entrambi i casi, se questo limite è minore di 1 la serie converge, se è maggiore diverge, mentre se è 1 il criterio fallisce.

Per serie a termini di segno alterno è disponibile il criterio di Leibniz, il quale afferma che se a_n tende a 0, e a_n è decrescente, allora la serie $\sum_{i=0}^\infty (-a)^ia_i$ converge.

Bibliografia

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill, 1994.
• Michael Spivak, Calculus. Houston, Publish or Perish, 1994. ISBN 0914098896.

Voci correlate

• Teorema di Riemann-Dini

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