Serie convergente

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In matematica, una serie convergente è una serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione a_i, la serie \sum_{i=0}^\infty a_i è convergente se la successione delle somme parziali

S_n=\sum_{i=0}^n a_i,

ha un limite finito, cioè se esiste S tale che per ogni \varepsilon>0 esiste N tale che per ogni n>N

|S_n-S|<\varepsilon.

Il numero S è detto somma della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare; le serie convergenti formano quindi uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Una serie non convergente non è necessariamente detta divergente, ad esempio la serie \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori 0 e 1 e quindi non ammette limite.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

dove \mathbb{P} indica l'insieme dei numeri primi.

Assoluta convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Una serie è detta assolutamente convergente se converge la serie dei valori assoluti, cioè se la serie

\sum_{i=0}^\infty |a_i|,

converge.

Si dimostra facilmente che una serie assolutamente convergente è convergente: infatti, se si definiscono due nuove successioni

b_i=\begin{cases}a_i \mathrm{~se~}a_i>0\\ 0\mathrm{~altrimenti}\end{cases}
c_i=\begin{cases}-a_i \mathrm{~se~}a_i<0\\ 0\mathrm{~altrimenti}\end{cases}

risulta evidente che le loro serie \sum_{i=0}^\infty b_i e \sum_{i=0}^\infty c_i sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore o uguale del corrispondente termine di |a_i|. Quindi la loro differenza è anch'essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché a_i=b_i-c_i

Il viceversa non è vero: la serie

  • -\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots = \sum_{i=1}^\infty(-1)^i\frac{1}{i},

converge a -\ln 2, ma la serie dei valori assoluti

  • \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i},

è la serie armonica, che diverge.

Criteri di convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi criteri di convergenza.

Per stabilire se una serie converge o meno è possibile usare dei criteri di convergenza, che consentono spesso di stabilire velocemente il carattere di una serie (specialmente se è a termini positivi, cioè se S_n>S_{n-1} per ogni n sufficientemente grande) senza tuttavia permettere di calcolarne effettivamente la somma.

Il metodo principale, che viene usato per dimostrare molti altri è il criterio del confronto: se \sum_{i=0}^\infty a_i e \sum_{i=0}^\infty b_i sono due serie a termini positivi tali che b_i>a_i per ogni n sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima. Inversamente, se la prima diverge così farà la seconda.

Altri criteri molto usati sono il criterio del rapporto e il criterio della radice: nel primo si studia il comportamento della quantità \frac{a_{i+1}}{a_i}, mentre nel secondo della quantità \sqrt[i]{a_i} al tendere di i a +\infty. In entrambi i casi, se questo limite è minore di 1 la serie converge, se è maggiore diverge, mentre se è uguale a 1 il criterio fallisce e non dà informazioni sul comportamento della serie.

Per serie a termini di segno alterno è disponibile il criterio di Leibniz, il quale afferma che se a_i è decrescente e tende a 0, allora la serie \sum_{i=0}^\infty (-1)^i a_i converge.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill, 1994.
  • Michael Spivak, Calculus. Houston, Publish or Perish, 1994. ISBN 0914098896.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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