Problema di Basilea

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Il problema di Basilea è un famoso problema dell’analisi, proposto per la prima volta da Pietro Mengoli nel 1644 e risolto da Eulero nel 1735. Il problema aveva resistito agli attacchi dei più grandi matematici dell’epoca quindi la soluzione di Eulero (ancora ventottenne) suscitò stupore e ammirazione. Il problema di Basilea chiede di scoprire la forma chiusa (cioè la formula) a cui tende la somma degli inversi di tutti i quadrati dei numeri naturali, cioè la somma precisa della serie infinita:


\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots

La serie è approssimativamente uguale a 1,644934. Il problema di Basilea chiede la somma esatta di questa serie (nella forma chiusa). Eulero dimostrò che la somma esatta è \frac{\pi^2}{6} e annunciò questa scoperta nel 1735. Le sue dimostrazioni erano basate su passaggi non chiariti appieno. Per una dimostrazione rigorosa bisognerà aspettare fino al 1741.

La funzione zeta di Riemann[modifica | modifica wikitesto]

La funzione zeta di Riemann è ζ(s) è una delle più importanti della matematica in parte perché è in relazione con la distribuzione dei numeri primi. La funzione è definita per tutti i numeri complessi con parte reale > 1 dalla formula:


\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}.

Con s = 2, noi vediamo che ζ(2) è uguale alla somma degli inversi dei quadrati di tutti i numeri naturali.


\zeta(2) =
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots \approx 1,644934.

Come sappiamo che converge? Si può dimostrare che essa converge con la disuguaglianza:


\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2} < 1 + \sum_{n=2}^N \frac{1}{n(n-1)}
= 1 + \sum_{n=2}^N \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)


= 1 + \, 1-\cancel{\frac{1}{2}}\,+\,\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}\,+\,\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\,+\,\cdots{}\,+\,\cancel{\frac{1}{N-2}}-\cancel{\frac{1}{N-1}}\,+\,\cancel{\frac{1}{N-1}}-\frac{1}{N}
= 1 + 1 - \frac{1}{N} \; \stackrel{N \to \infty}{\longrightarrow} \; 2

e grazie al fatto che tutti i suoi termini sono positivi. Inoltre tale disuguaglianza ci dà il limite superiore: ζ(2) < 2.

La dimostrazione di convergenza è anche facilmente ottenibile sostituendo a ciascuna frazione non contenente una potenza di due la frazione contente potenza di due e di valore immediatamente superiore alla frazione sostituita. In tal modo si ottiene una serie che ha somme parziali sempre superiori alla serie data:


\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\frac{1}{1^2}  + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots \frac{1}{n^2} < 
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2}+ \frac{1}{4^2}+ \frac{1}{4^2}+ \frac{1}{4^2}+ \cdots \frac{2^n}{{2^n}^2}

Si nota facilmente che la nuova serie equivale alla serie degli inversi delle potenze di due:


\sum_{n=0}^\infin \frac{1}{2^n} =
\frac{1}{2^0}+ \frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \cdots \frac{1}{{2^n}}

che, come noto, converge a 2.

Ma se tale serie è convergente, allora lo è anche la serie di partenza in quanto le sue somme parziali sono sempre inferiori.

La dimostrazione di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione di Eulero è intelligente e originale. Essenzialmente egli suppose che le regole dei polinomi finiti fossero valide anche per le serie infinite. Naturalmente il ragionamento originale di Eulero richiede una dimostrazione di questo, ma anche senza giustificazione, semplicemente ottenendo un valore prossimo a quello ottenuto col calcolo, egli poteva essere piuttosto sicuro della correttezza del suo risultato. Per seguire la dimostrazione di Eulero, bisogna ricordare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione seno centrato in 0:

 \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots.

Dividendo per x entrambi i termini, abbiamo:

 \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots.

Le radici di questo polinomio sono π, 2π, 3π.... Poniamo ora z = x2 e abbiamo:

 \frac{\sin(\sqrt{z})}{\sqrt{z}} = 1 - \frac{z}{3!} + \frac{z^2}{5!} - \frac{z^3}{7!} + \cdots.

Le radici di questo polinomio (per la sostituzione operata) sono: π2, 4π2, 9π2... Per le Formule di Viète abbiamo che, se un polinomio ha il termine costante uguale a 1, la somma degli inversi delle sue radici è uguale al coefficiente del termine lineare cambiato di segno (in altre parole la somma degli inversi delle radici del polinomio a_n{x^n}+...+a_3{x^3}+a_2{x^2}+ bx +1 dà come risultato -b).

Supponiamo di poter applicare le regole dei polinomi finiti anche per questo polinomio infinito. Abbiamo che:

 \frac{1}{3!} = \frac{1}{6} = \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \frac{1}{16\pi^2} + \cdots

Moltiplicando entrambi i termini per \pi^2 otteniamo:

 \frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2}

CVD

Una dimostrazione rigorosa[modifica | modifica wikitesto]

La seguente dimostrazione di ζ(2) = π2/6 è la prova più semplice disponibile; mentre la maggior parte delle prove utilizzano i risultati dalla matematica avanzata, quali analisi di Fourier, analisi complessa e calcolo a più variabili.

Storia della dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

L'origine della prova è poco chiara. È comparsa nel giornale Eureka in 1982, attribuita a John Scholes, ma la prova era “conoscenza comune” a Cambridge verso la fine degli anni '60.

Che cosa bisogna conoscere[modifica | modifica wikitesto]

Per capire la dimostrazione dobbiamo conoscere le seguenti nozioni

  • La formula di De Moivre, che asserisce: (\cos x + i\sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx).
  • Il teorema binomiale, vale a dire: (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}     dove   {n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}   è il coefficiente binomiale.
  • La funzione cot2 x ha una corrispondenza biunivoca nell’intervallo (0, π/2).
    • Dimostrazione: supponiamo che cot2 x = cot2 y per alcuni x e y nell'intervallo (0, π/2). Avvalendoci della definizione di cotangente cot x = (cos x)/(sin x) e dell'identità trigonometrica cos2 x = 1 − sin2 x, vediamo che (sin2 x)(1 − sin2 y) = (sin2 y)(1 − sin2 x). Aggiungendo (sin2 x)(sin2 y) a entrambi i termini, otteniamo sin2 x = sin2 y. Poiché la funzione seno non è mai negativa in (0, π/2), si ha sin x = sin y, ma è geometricamente evidente (per esempio dando un'occhiata alla circonferenza goniometrica) che la funzione seno è crescente nell'intervallo (0, π/2), per cui x = y.
  • Se p(t) è un polinomio di grado m, p ha esattamente m radici in C, contate con le relative molteplicità.
  • Se p(t) = amtm + am − 1tm − 1 + ... + a1t + a0, dove am ≠ 0, allora la somma delle radici di p (contando le molteplicità) è −am − 1/am
    • Dimostrazione: Se am = 1, allora p(t) = prodotto di tutti i (ts), dove s spazia tra tutte le radici di p. Espandendo questo prodotto, si vede che il coefficiente di tm − 1 è l'opposto della somma di tutte le altre radici. Se am ≠ 1, allora possiamo dividere per esso ogni termine, ottenendo un nuovo polinomio con le stesse radici, il cui coefficiente di partenza è 1; reiterando lo stesso ragionamento, si vede che la somma di tutte le radici del p(t) = somma di tutte le radici del nuovo polinomio = −am − 1/am.
  • L’identità trigonometrica csc 2 x = 1 + cot 2 x.
    • Dimostrazione: È conseguenza dell'identità fondamentale 1 = sin2 x + cos2 x dove ogni termine è stato diviso per sin2 x.
  • Per un numero reale x compreso tra 0 e π/2, abbiamo la diseguaglianza cot 2 x < 1/x2 < csc2 x.
    • Per x piccoli, è ampiamente dimostrato che 0 < sin x < x < tan x, come è possibile vedere qui:

Circle-trig6.svg

Per notare che 0 < sin x < x, si osservi il fatto che nella figura sin θ è la lunghezza della linea AC, e θ è la lunghezza dell'arco circolare AD.
Per notare che x < tan x, si osservi che l'area del triangolo OAE è tan(θ)/2, l'area del settore OAD è θ/2, e che il settore è contenuto nel triangolo.
Ora, si consideri il reciproco di ogni elemento trigonometrico fin qui nominato, e se ne calcoli il quadrato. Si tenga altresì presente che la disequazione, in presenza dei reciproci, cambia direzione.
  • Dati tre numeri reali a, b, c con a ≠ 0; il limite della funzione (am + b)/(am + c) con m che tende a infinito è 1, cioè \lim_{m \to \infty} \frac{am+b}{am+c}=1.
    • Dimostrazione: Si divida ogni termine per m, e si prenda (a + b/m)/(a + c/m). Se dividiamo un numero piccolo per una quantità straordinariamente grande, il quoziente tende a zero; così, sia numeratore che denominatore tendono ad a, e il loro quoziente tende a 1.
  • Il teorema del confronto per le funzioni (o dei carabinieri): se una funzione è maggiorata e minorata da due funzioni che tendono allo stesso limite, allora anche la funzione in questione tenderà a tale limite.

La dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

L’idea principale di questa dimostrazione è trovare un limite alle somme parziali

\sum_{k=1}^m \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{m^2}

tra due espressioni tendenti ciascuna a π2/6 (con m che tende a infinito). Le due espressioni sono derivate dalle identità che coinvolgono le funzioni di cosecante e di cotangente. Queste identità a loro volta sono derivate dalla formula di De Moivre dato il numero reale x compreso tra 0 e π/2, e n un intero positivo, con la formula di De Moivre abbiamo:

\frac{\cos (nx) + i \sin (nx)}{(\sin x)^n} = \frac{(\cos x + i\sin x)^n}{(\sin x)^n} = \left(\frac{\cos x + i \sin x}{\sin x}\right)^n = (\cot x + i)^n.

Dal teorema binomiale invece ricaviamo:

(\cot x + i)^n = {n \choose 0} \cot^n x + {n \choose 1} (\cot^{n-1} x)i + \cdots + {n \choose {n-1}} (\cot x)i^{n-1} + {n \choose n} i^n

= \left[ {n \choose 0} \cot^n x - {n \choose 2} \cot^{n-2} x \pm \cdots \right] \; + \; i\left[ {n \choose 1} 

\cot^{n-1} x - {n \choose 3} \cot^{n-3} x \mp \cdots \right].

La combinazione delle due equazioni dà la seguente identità:

\frac{\sin (nx)}{(\sin x)^n} = \left[ {n \choose 1} \cot^{n-1} x - {n \choose 3} \cot^{n-3} x \mp \cdots \right].

Poniamo ora n = 2m + 1, dove m è un naturale, cioè consideriamo n un valore dispari.

Per nx = jπ con j = 1, 2, ..., m, cioè per x = jπ/n = jπ/(2m + 1) si ha sin(nx) = 0 per ogni valore di n, quindi l'identità sopra esposta diventa: 0 = {{2m+1} \choose 1} \cot^{2m} x - {{2m+1} \choose 3} \cot^{2m-2} x \mp \cdots + (-1)^m{{2m+1} \choose {2m+1}}.

I valori di x = jπ/(2m + 1) (con j = 1, 2, ..., m) che soddisfano l'equazione precedente sono compresi tra 0 e π/2, e poiché la funzione cot2(x) = cot2(jπ/(2m + 1)) ha corrispondenza biunivoca nell’intervallo (0,π/2) essa assume un valore diverso per ogni j = 1, 2, ..., m. Dalla suddetta equazione risulta che ciascuno di questi numeri (diversi) è la radice di un polinomio p(t) di grado m in t=cot2x,

p(t) := {{2m+1} \choose 1}t^m - {{2m+1} \choose 3}t^{m-1} \mp \cdots + (-1)^m{{2m+1} \choose {2m+1}}.

È dunque possibile calcolare direttamente la somma delle m radici tj prendendo in considerazione i coefficienti di p(t).

\sum_{j=1}^{m} t_j = {{2m+1} \choose 3}/{{2m+1} \choose 1} = \frac{2m(2m-1)}{6}

Ricordando che t=cot2x ed inserendo l'identità trigonometrica csc2 x = cot2 x + 1, abbiamo:

\frac{2m(2m-1)}{6} = \sum_{j=1}^{m} t_j = \sum_{j=1}^{m} \cot^2 x = \sum_{j=1}^{m} \left(\csc^2 x - 1\right) = -m + \sum_{j=1}^{m} \csc^2 x

Ricordando inoltre che x = jπ/(2m + 1) si ottiene:

\sum_{j=1}^{m} \csc^2 x = \sum_{j=1}^{m} \csc^2 \left(\frac{j\pi}{2m+1}\right)= \frac{2m(2m-1)}{6}+m = \frac{2m(2m+2)}{6}

Ora, consideriamo la disuguaglianza cot2 x < 1/x2 < csc2 x per ciascuno dei numeri x = jπ/(2m + 1) ed effettuiamone la somma. Per le due identità precedenti otteniamo

\frac{2m(2m-1)}{6} < \left( \frac{2m+1}{\pi} \right) ^2 + \left( \frac{2m+1}{2 \pi} \right) ^2 + \cdots + 
\left( \frac{2m+1}{m \pi} \right) ^2 < \frac{2m(2m+2)}{6}.

A questo punto, moltiplicando per (π/(2m + 1))2, si ha:

\frac{\pi ^2}{6}\left[\frac{2m(2m-1)}{(2m+1)^2}\right] < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + 
\cdots + \frac{1}{m^2} < \frac{\pi ^2}{6}\left[\frac{2m(2m+2)}{(2m+1)^2}\right].

Per m tendente a infinito, i termini a sinistra e a destra delle disuguaglianze convergono entrambi a π2/6, e per il teorema del confronto abbiamo quindi:

\zeta(2) =
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} =
\lim_{m \to \infty}\sum_{k=1}^m \frac{1}{k^2} =
\lim_{m \to \infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{m^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6}

E questo completa la dimostrazione. Q.E.D.

Altra dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra procedura per il calcolo di ζ(2), che fa uso di integrali, si trova qui.

Dimostrazione utilizzando la serie di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra possibile dimostrazione è ottenibile utilizzando le proprietà delle Serie di Fourier. Considerando infatti la funzione f(x)=x con x\in[-\pi,\pi], si può considerare l'estensione periodica di questa funzione a tutto \mathbb{R}.

Tale estensione risulta continua su \mathbb{R} con un numero finito di punti di discontinuità.

La Serie di Fourier associata converge quindi uniformemente alla funzione f(x) \forall x\in\mathbb{R}\backslash\{-2k\pi\}\forall k\in\mathbb{N}. Essendo f(x) una funzione dispari, si ottiene una serie di soli seni, il cui coefficiente \beta_k si ottiene utilizzando la Forma Rettangolare:

\beta_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(kx)dx=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{x\cos(kx)}{k}-\int_{\pi}^{\pi}\frac{\cos(kx)}{k}dx\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{x\cos(kx)}{k}\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{k}(-\cos(k\pi))=\frac{(-1)^{k+1}}{k}\forall k\in\mathbb{N}

La serie di Fourier associata risulta quindi: f(x)\sim2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(kx). Utilizzando poi l'uguaglianza di Parseval, otteniamo l'identità:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}dx=\frac{\pi^{2}}{3}=2\sum_{k=1}^{\infty}\beta_{k}^{2}=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}

da cui segue:

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Con procedimenti molto simili a quelli che erano stati usati per il caso s=2 si riuscì a trovare la forma chiusa per la somma dell'inverso di qualsiasi potenza pari:

\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots =  \frac{\pi^4}{90}
\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{4^6} + \cdots =  \frac{\pi^6}{945}

Più in generale:

\zeta(2k)= \frac{2^{2k-1}\pi^{2k}|B_{2k}|}{(2k)!}

Dove  B_k sono i numeri di Bernoulli. Non è stato però compiuto alcun passo nella determinazione di una forma chiusa per i valori dispari di \zeta(s): solo recentemente è stato dimostrato che:\zeta(3) (chiamata costante di Apery) è un numero irrazionale.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica