Pietro Mengoli
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Pietro Mengoli (Bologna, 1626 – Bologna, 1686) è stato un matematico italiano. Studiò con Bonaventura Cavalieri e gli subentrò nell’insegnamento della matematica all’Università di Bologna. I suoi studi si collocano a mezza via tra il metodo infinitesimale di Cavalieri e quelli di Leibniz e Newton. Scrisse, fra l’atro, gli Geometricae elementa speciosae (1659), anticipando Cauchy relativamente al concetto di limite e di integrale definito.
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[modifica] Carriera
È all'Università di Bologna che si colloca la vita di questo matematico italiano del XVII secolo, dove fu prima un discepolo e poi un assistente del celebre Cavalieri, del quale, successivamente, alla sua morte, prese il posto nell’insegnamento delle discipline matematiche (1648). Ma la vita accademica di questo personaggio non si esaurisce nell’ avvenuto possesso della cattedra di matematica; ebbe modo di cimentarsi in un dottorato nelle arti filosofiche che guadagnò due anni dopo (1650), ed in altri tre anni riuscì ad ottenere e conquistare anche un secondo dottorato in legge. Ebbe altresì il tempo di ordinarsi nel sacerdozio.
Dopo la morte di Cavalieri, che avvenne nel novembre del 1647, Mengoli fu chiamato alla sua cattedra all’Università di Bologna. Qui, dove insegnò per tutta la vita, ottenne numerose cattedre. Fu prima professore di aritmetica (1648-1649), poi professore di meccanica (1649-1668), e, finalmente, professore di matematica (1668-1686, anno della sua morte). Dal 1660 fu anche parroco nella parrocchia di Santa Maria Maddalena a Bologna.
La matematica di Mengoli può ritenersi superficialmente conservativa. Egli non aderì alle innovazioni divulgative di Torricelli, e le sue scoperte furono supportate da un latino troppo astruso da rendere i suoi lavori difficilmente comprensibili. Ciononostante, i suoi libri furono pubblicati, e nonostante ci si trovasse nel pieno diciassettesimo secolo i suoi lavori giunsero alla conoscenza dei vari Collins, Wallis, Leibniz ecc. Come era facile prevedere essi furono presto dimenticati, così che solo di recente il lavoro di Mengoli è stato riscoperto ed analizzato.
[modifica] Novae quadraturae arithmeticae
In Novae quadraturae arithmeticae, seu de additione fractionum pubblicato a Bologna nel 1650 Mengoli trattò l’argomento relativo alle serie in maniera eccellente, sviluppando idee che erano state materia di studio di Cataldi. Il primo argomento fu lo studio della serie geometrica, poi dimostrò la non convergenza della serie armonica. In questo modo divenne la prima persona a dimostrare la possibilità di ottenere un numero infinito nella somma di una serie i cui termini tendono ad annullarsi. Studiò anche la serie armonica con segni alternati che dimostrò convergere a log(2). Questa serie fu studiata in precedenza anche da Nicolaus Mercator.
Gli altri risultati interessanti sullo studio delle serie, presenti in questo trattato, sono lo studio della somma dei reciproci dei numeri triangolari n(n+1)/2. Ad esempio, Mengoli dimostrò che
- 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + ... + 1/(n(n+1)/2) = il n/n+2.
Notando che, per un fissato numero x esiste comunque un numero n abbastanza grande tale che la quantità [1 - n/n+2] < x, dimostrò che la somma della serie è 1. Da qui, dimostrando che
- 1/1+r + 1/2(2+r) + 1/3(3+r) + ... = (1 + 1/2+ 1/3+... + 1/r)/r
per r = 1, 2, 3..., 10, Mengoli dimostrò che la serie il cui termine ennesimo è 1/n(n+r) converge avendo somma S dove
- r = 1, S = 1
- r = 2, S = 3/4
- r = 3, S = 11/18
- r = 4, S = 25/48
- r = 5, S = 137/300
- r = 6, S = 49/120
- r = 7, S = 363/980
- r = 8, S = 761/2240
- r = 9, S = 7129/22680
- r = 10, S = 7381/25200
Lui mostrò anche che la serie il cui termine ennesimo era 1/n(n+1)(n+2) converge con somma 1/4. Stranamente non riuscì a trovare la somma della serie il cui termine ennesimo è 1/n2.
[modifica] Geometriae speciosae elementa
Mengoli scrisse Geometriae speciosae elementa (1659) sui limiti di figure geometriche. Questo lavoro è particolarmente interessante perché contiene una prima definizione di integrale definito, visto come area racchiusa da una figura geometrica piana calcolata sommando l’area di parallelogrammi inscritti e circoscritti. Definisce i limiti di quantità variabili positive usando idee che aveva già usato nello studio dei limiti di serie. Utilizzò la dizione quasi-infinitum per indicare una quantità variabile positiva quando questa poteva essere considerata più grande di un qualsiasi numero positivo dato; quasi-nil quando questa poteva essere considerata più piccola di un qualsiasi numero positivo dato; quasi-a quando questa poteva essere considerata più grande di un qualsiasi numero più piccolo di a e più piccola di un qualsiasi numero più grande di a.
[modifica] Altre opere
In Circolo (1672) Mengoli trovò un'espansione di prodotti infinita per p/2. Calcolò anche l’integrale definito da 0 a 1 di xm/2(1 - x)n/2.
Per ciò che concerne gli altri lavori di Mengoli sono da menzionare uno studio di astronomia, diversi scritti sul fenomeno della rifrazione nell'atmosfera ed un libro, Speculazioni musicali (1670), sulla teoria della musica. In questo Mengoli critica la teoria sulla risonanza di Galileo.
[modifica] Eredità
Esaminando i limiti di somme, prodotti e quozienti di quantità variabili, Mengoli aveva preparato le regole di base del calcolo infinitesimale trenta anni prima di Newton e Leibniz. Dal canto loro, questi ultimi furono influenzati dal contributo di Mengoli. Nel caso di Leibniz tale influenza fu diretta attraverso lo studio degli scritti di Mengoli; mentre nel caso di Newton l’influenza avvenne in maniera indiretta attraverso i suoi studi su Wallis.
