Serie armonica

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In matematica, la serie armonica è la sommatoria infinita delle frazioni unitarie o, equivalentemente, dei reciproci dei numeri naturali:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ \dots

Deve il suo nome al fatto che gli armonici prodotti da un corpo vibrante hanno rapporti di lunghezza d'onda con il suono fondamentale che si possono esprimere con gli addendi della serie.

La successione delle sue somme parziali è monotona e strettamente crescente rispetto alla variabile rappresentata dal numero di addendi, e il suo carattere è divergente: per un m sufficientemente grande, la somma parziale dei termini da 1 a m può superare qualunque numero prefissato.

Il fatto che la serie diverga può non essere evidente a prima vista, poiché l'ultimo termine delle somme parziali tende a zero al crescere del numero di addendi. Esistono tuttavia molte semplici dimostrazioni della divergenza della serie.

Dimostrazioni della divergenza[modifica | modifica sorgente]

Prima dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per una dimostrazione si può osservare che se nella serie si sostituisce a ogni denominatore la potenza di 2 immediatamente superiore, a meno che il numero non sia già una potenza di 2, si ottiene evidentemente una serie minore. Così la serie armonica:

 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{16} + \dots

viene minorata dalla serie:

 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{16} + \dots

Ma questa seconda serie, poiché ha 4-2=2 termini che valgono 14, 8-4=4 termini che valgono 18, 16-8=8 termini che valgono 116, ... può essere riscritta come:

 1 + \frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{4} + 4\cdot\frac{1}{8} + 8\cdot\frac{1}{16} + \dots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots

e quindi diverge.

In maniera più formale, la dimostrazione si può riformulare nel modo seguente:

definendo S_N la somma parziale 1+\frac 1 2 + \frac 1 3 + ... +\frac 1 N, dimostriamo con il principio di induzione che per ogni m si ha

S_{2^m} \geq 1 + {m \over 2}:

Per m = 1 si ha S_2  = 1 + {1 \over 2}. Se consideriamo m > 1, supponendo che sia vera

S_{2^{m-1}} \geq 1 + ( m - 1)  {1 \over 2}

si ottiene:

S_{2^m}  = S_{2^{m-1}}  + {1 \over {2^{m-1}+1}} + {1 \over {2^{m-1}+2}} + ... + {1 \over {2^{m}}} \geq  S_{2^{m - 1}} + 2 ^ {m - 1} {1 \over {2^m}} \geq 1 + (m-1) {1 \over 2}+ {1 \over 2} \geq 1 + m {1 \over 2}.

La diseguaglianza dimostrata implica ovviamente la divergenza della serie.

Seconda dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

L'idea di questa dimostrazione è quella di stimare le somme parziali con integrali definiti della funzione 1/x (poiché le somme parziali possono essere viste come integrali di funzioni a gradino, ciò equivale a stimare l'area di un istogramma con l'integrale di una funzione regolare). Formalmente, chiamando S_N l'N-ma somma parziale, si ha:

 S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{N} \int_{n}^{n+1}  \frac{1} {n}\, dx>\sum_{n=1}^{N} \int_{n}^{n+1}  \frac{1} {x}\, dx=\int_{1}^{N+1}  \frac{1} {x}\, dx=ln(N+1)

e ciò implica evidentemente la divergenza della serie.

Terza dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo per assurdo che la serie armonica converga e sia S la sua somma. Ciò significa che la successione delle sue somme parziali S_{n} converge a S. La successione estratta S_{2n} dovrebbe convergere allora allo stesso limite e quindi la successione S_{2n} - S_{n} convergerebbe a 0. Ma ciò non è possibile, poiché per ogni n si ha:

S_{2n}-S_{n} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}
\geq \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2n}=\frac{1}{2n}\cdot n=\frac{1}{2}.

Poiché la serie armonica è a termini non negativi, e tali serie o convergono o divergono a + \infty, la serie armonica diverge.

Serie armonica generalizzata[modifica | modifica sorgente]

La serie armonica generalizzata si presenta nella forma:


\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} = 1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + ... + \frac{1}{n^\alpha}+ ... con \ \alpha \in \R.


Tale serie diverge per \alpha \le 1 e converge per \ \alpha > 1.
Per dimostrare il carattere della serie armonica ci si rifà al primo criterio del confronto tra due serie.

Dimostrazione della divergenza per α < 1[modifica | modifica sorgente]

Poiché per \ \alpha<1 si ha la disuguaglianza \ n^\alpha < n e quindi {1 \over {n ^ \alpha}} > {1 \over n} possiamo concludere che la serie armonica generalizzata per \ \alpha < 1 è divergente, essendo maggiore della serie armonica che abbiamo visto essere divergente.

Dimostrazione della convergenza per α = 2[modifica | modifica sorgente]

\sum_{n = 1}^\infty {1 \over {n^2}} serie armonica generalizzata con \alpha = 2.

Ricordiamo che

\sum_{n = 2}^\infty {1\over{n(n-1)}} = \sum_{n = 1}^\infty {1\over{n(n+1)}} = 1 (serie di Mengoli).

Ma {1 \over {n^2}} < {1 \over {n(n-1)}}\ \quad\forall n > 1, quindi la prima serie, privata del primo addendo 1, è minorante di una serie che converge ad 1. Ne segue che la serie armonica generalizzata con \alpha = 2 converge ad un numero reale minore di 2.

Dimostrazione della convergenza per α > 2[modifica | modifica sorgente]

Dato che {1 \over n^\alpha} \leq {1 \over n^2} \ \ \forall \alpha > 2 la serie armonica generalizzata con \alpha > 2 converge in quanto minorante di quella per \alpha = 2

Dimostrazione della convergenza per α > 1[modifica | modifica sorgente]

Utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli generalizzata, si può ottenere:

{{\alpha - 1 }\over {(n+1)^\alpha }} < {1 \over {n^{\alpha-1}}}-{1 \over {(n+1)^{\alpha-1}}}\ \ \ \ \ \  \forall n \in \N ,\ \alpha > 1

dove il secondo membro è l'addendo di una serie che generalizza la serie di Mengoli e converge ancora ad 1 per ogni \alpha > 1.Quindi la serie armonica generalizzata per ogni \alpha > 1 converge ad un numero reale minore di \alpha / (\alpha -1).

Dimostrazione alternativa (confronto con la serie condensata)[modifica | modifica sorgente]

In alternativa, poiché il termine generale è positivo e tende a zero da sopra, è possibile sfruttare il criterio di condensazione per dimostrare la convergenza o la divergenza della serie. Infatti, per il criterio di condensazione, le serie

\sum {\frac{1}{n^{\alpha}}}

e

\sum{\frac{2^n}{(2^n)^{\alpha}}} = \sum{\frac{1}{2^{(\alpha - 1)n}}}

hanno lo stesso carattere; la seconda serie è una serie geometrica, che converge se e solo se l'esponente è maggiore di 0 (ossia, se \alpha è maggiore di 1).

Serie armonica a segni alterni[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Serie di Mercator.

La serie armonica a segni alterni:

\sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\over n}

è convergente ma non è assolutamente convergente.

Infatti per il criterio di Leibniz si vede che questa serie converge (mentre la serie dei moduli, che è la serie armonica, diverge).

Tuttavia se si sommano i termini questa serie converge a \ln 2

Dimostrazione

Consideriamo una serie geometrica di ragione -x:

 1 - x + x^ 2 - x ^ 3 + x ^ 4 -... = \frac{1}{1+x}

Quindi:

\ \int_{0}^{x} (1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - ...) \, dt = \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\, dt

Ossia (integrando termine a termine)

\ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} -... = \int_{0}^{x}\frac{(1+t)^{\prime}}{1+t} dt = \ln{(x+1)}

E ponendo x=1:

\ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} -... = \ln 2 ,
Q.E.D..

Approssimazioni della Serie armonica[modifica | modifica sorgente]

La serie armonica diverge ma possiamo ricavare delle ottime approssimazioni della somma dei primi n termini che ci risparmiano il lavoro di somma. Abbiamo per esempio che:

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\sim\ln{n}

Questa formula ci fornisce un'approssimazione molto buona. Addirittura la differenza tra somma dei primi n termini e l'approssimazione tende a essere costante. In particolare tende alla costante di Eulero-Mascheroni definita come

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}  - \ln(n) \right)

Questa costante vale per approssimazione

γ ≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...

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