Numero triangolare

In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un triangolo equilatero, come nella figura sotto.

1		3		6		10		15		21

Formula di Gauss

L'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss:

$T_n = \frac{n(n+1)} {2} .$

Osservando che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di elementi pari all'indice della riga, e contiene quindi un elemento in più della riga precedente, si verifica facilmente che la formula corrisponde a quella della somma dei primi $n\$ termini della progressione aritmetica di ragione 1:

$T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n .$

È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'n-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati $n\$ e $n + 1\$, che è formato da $n (n + 1)$ punti, il doppio di quelli del triangolo.

2		6		12		20		30		42

L'n-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un insieme di $n\$ elementi.

Elenco di numeri triangolari

I primi numeri triangolari sono:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240 ecc.

e rappresentano la successione A000217 dell'OEIS.

Relazioni con altri numeri figurati

• La somma di due numeri triangolari successivi è un numero quadrato:

$n^2 \,=\, {n(n-1) \over 2} + {n(n+1) \over 2}$;

4		9		16		25		36

• esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
• ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in $20 = 10 + 10$; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
• la somma dei primi $n\$ numeri triangolari è pari all'n-esimo numero tetraedrico;
• l'n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per $3n - 1$; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale;
• la differenza tra l'n-esimo numero m-gonale e l'n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale all'(n-1)-esimo numero triangolare.

Altre proprietà

• $T_{a+b} = T_{a} + T_{b} + ab$ (somma di numeri triangolari);
• $T_{ab} = T_{a}T_{b} + T_{a-1}T_{b-1},$ (prodotto di numeri triangolari);
• tutti i numeri perfetti sono triangolari;
• i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale pertanto 2;
• il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi $n\$ cubi:

$T_n^2 = \sum_{k=1}^n k^3$.

Test per i numeri triangolari

Per stabilire se il numero $n \in \mathbb{N}$ è triangolare si può calcolare l'espressione:

$m = \frac{\sqrt{8n + 1} - 1}{2}.$

Se, $m\$ è intero, allora $n\$ è l'm-esimo numero triangolare, altrimenti $n\$ non è triangolare.

Voci correlate

• Numero poligonale
• Numero triangolare centrato
• Numero tetraedrico
• Numero pentatopico

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• I numeri triangolari in OEIS, l'enciclopedia delle successioni numeriche

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