Numero triangolare

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In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un triangolo equilatero, come nella figura sotto.

1 3 6 10 15 21
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Formula di Gauss[modifica | modifica wikitesto]

L'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss:

T_n = \frac{n(n+1)} {2} .

Osservando che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di elementi pari all'indice della riga, e contiene quindi un elemento in più della riga precedente, si verifica facilmente che la formula corrisponde a quella della somma dei primi n\ termini della progressione aritmetica di ragione 1:

T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n .

È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'n-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati n\ e n + 1\ , che è formato da n (n + 1) punti, il doppio di quelli del triangolo.

2 6 12 20 30 42
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L'n-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un insieme di n\ elementi.

Elenco di numeri triangolari[modifica | modifica wikitesto]

I primi numeri triangolari sono:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240 ecc.

e rappresentano la successione A000217 dell'OEIS.

Relazioni con altri numeri figurati[modifica | modifica wikitesto]

n^2 \,=\, {n(n-1) \over 2} + {n(n+1) \over 2};
4 9 16 25 36
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  • esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
  • ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in 20 = 10 + 10; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
  • la somma dei primi n\ numeri triangolari è pari all'n-esimo numero tetraedrico;
  • l'n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per 3n - 1; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale;
  • la differenza tra l'n-esimo numero m-gonale e l'n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale all'(n-1)-esimo numero triangolare.

Altre proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • T_{a+b} = T_{a} + T_{b} + ab (somma di numeri triangolari);
  • T_{ab} = T_{a}T_{b} + T_{a-1}T_{b-1}, (prodotto di numeri triangolari);
  • tutti i numeri perfetti sono triangolari;
  • i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale pertanto 2;
  • il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi n\ cubi:
T_n^2 = \sum_{k=1}^n k^3;
Questo risultato è noto sotto il nome di teorema di Nicomaco.
  • i numeri triangolari si susseguono sempre alternando due numeri dispari a due numeri pari.

Test per i numeri triangolari[modifica | modifica wikitesto]

Per stabilire se il numero n \in \mathbb{N} è triangolare si può calcolare l'espressione:

m = \frac{\sqrt{8n + 1} - 1}{2}.

Se, m\ è intero, allora n\ è l'm-esimo numero triangolare, altrimenti n\ non è triangolare.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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