Formula di De Moivre

La formula di De Moivre è una delle basi dell'algebra dei numeri complessi, ed è legata al Piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse x l'asse dei reali e l'asse y l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

$(\cos x + i \, \sin x)^n = \cos (nx) + i \, \sin (nx)$

valida per ogni numero reale x, con n intero e i unità immaginaria, è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria.

Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per cos(nx) e sin(nx) in termini di sin(x) e cos(x).

Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici n-esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi z tali che zⁿ = 1.

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676.

Può essere derivata dalla formula di Eulero, anche se la precede storicamente, tramite lo sviluppo in serie di Taylor

$e^{i \, x} = \cos x + i \, \sin x$

e dalla legge esponenziale

$\left(e^{i \, x}\right)^{n} = e^{i \, n \, x} \,.$

Dimostrazione per induzione

Distinguiamo i tre casi relativi a $n>0$, $n=0$ e $n<0$.

Per n > 0 si procede per induzione. Per n=1 la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con sé stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo k, cioè assumiamo

$(\cos x + i \sin x)^k = \cos(kx) + i \sin(kx). \,$

Consideriamo poi il caso n = k + 1:

$(\cos x+i\sin x)^{k+1}\,$

$= (\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}\,$

$= \left[\cos(kx)+i\sin(kx)\right](\cos x+i\sin x)\,$ (per l'ipotesi induttiva)

$= \cos(kx)\cos x - \sin(kx)\sin x + i\left[\cos(kx)\sin x + \sin(kx)\cos x\right]\,$

$= \cos\left[(k+1)x\right] + i\sin\left[(k+1)x\right]\,$ (per le formule di addizione di seno e coseno)

L'ultima identità dice che la formula, se vale per n = k allora è valida per n = k + 1 e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli n interi positivi.

Per n = 0 la formula si riduce alla semplice identità $\cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i0 = 1$, e $z^{0} = 1$.

Per n < 0, si considera l'intero positivo m = −n. Di conseguenza

$(\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}\,$

$=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos mx + i\sin mx)}\,$, per quanto vale per n > 0; razionalizzando il denominatore

$=\frac{\cos(mx) - i\sin(mx)}{\cos^2(mx) + \sin^2(mx)} = \cos(mx) - i\sin(mx),$ e, per le proprietà trigonometriche di seno e coseno,

$=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx)\,$

Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di n. QED

Generalizzazione

La formula di De Moivre viene generalizzata nel modo seguente.

Se z e w sono numeri complessi, allora

$\left( \cos z + i \, \sin z \right)^w$

è una funzione a più valori, mentre

$\cos (wz) + i \, \sin (wz)$

non lo è, e si può affermare che

$\cos (wz) + i \, \sin (wz)$ è un valore di $\left( \cos z + i \, \sin z \right)^w \,.$

Bibliografia

• Milton Abramowitz; Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, New York, Dover Publications, 1964, pp. 74. ISBN 0486612724.

Voci correlate

• Abraham de Moivre, Isaac Newton, Eulero
• numeri complessi, trigonometria
• Polinomi di Chebyshev

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Formula di De Moivre su MathWorld.

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