Formula di de Moivre

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La formula di de Moivre è una delle basi dell'algebra dei numeri complessi, ed è legata al piano complesso, ovverosia alla rappresentazione dei numeri complessi su un piano, considerando l'asse x l'asse dei reali e l'asse y l'asse degli immaginari. Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

(\cos x + i \, \sin x)^n = \cos (nx) + i \, \sin (nx)

valida per ogni numero reale x, con n intero e i unità immaginaria, è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria.

Applicando al membro sinistro lo sviluppo del binomio e uguagliando le parti reali e le parti immaginarie dell'identità nella nuova forma, si ottengono espressioni utili per cos(nx) e sin(nx) in termini di sin(x) e cos(x).

Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per le radici n-esime dell'unità, cioè i valori per i numeri complessi z tali che zn = 1.

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676.

Può essere derivata dalla formula di Eulero, anche se la precede storicamente, tramite lo sviluppo in serie di Taylor

e^{i \, x} = \cos x + i \, \sin x

e dalla legge esponenziale

 \left(e^{i \, x}\right)^{n} = e^{i \, n \, x} \,.

Dimostrazione per induzione[modifica | modifica wikitesto]

Distinguiamo i tre casi relativi a n>0, n=0 e  n<0.

Per n > 0 si procede per induzione. Per n=1 la formula è una semplice uguaglianza di un'espressione con se stessa. Come ipotesi induttiva assumiamo che sia valida per qualche intero positivo k, cioè assumiamo

(\cos x + i \sin x)^k = \cos(kx) + i \sin(kx).

Consideriamo poi il caso n = k + 1:

(\cos x+i\sin x)^{k+1}
= (\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}
= \left[\cos(kx)+i\sin(kx)\right](\cos x+i\sin x) (per l'ipotesi induttiva)
= \cos(kx)\cos x - \sin(kx)\sin x + i\left[\cos(kx)\sin x + \sin(kx)\cos x\right]
= \cos\left[(k+1)x\right] + i\sin\left[(k+1)x\right] (per le formule di addizione di seno e coseno)

L'ultima identità dice che la formula, se vale per n = k allora è valida per n = k + 1 e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli n interi positivi.

Per n = 0 la formula si riduce alla semplice identità \cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i0 = 1, e z^{0} = 1.

Per n < 0, si considera l'intero positivo m = −n. Di conseguenza

(\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}
=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos mx + i\sin mx)}, per quanto vale per n > 0; razionalizzando il denominatore
=\frac{\cos(mx) - i\sin(mx)}{\cos^2(mx) + \sin^2(mx)} = \cos(mx) - i\sin(mx), e, per le proprietà trigonometriche di seno e coseno,
=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx)

Dunque la formula è vera per tutti i valori interi di n. QED

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

La formula di de Moivre viene generalizzata nel modo seguente.

Se z e w sono numeri complessi, allora

 \left( \cos z + i \, \sin z \right)^w

è una funzione a più valori, mentre

 \cos (wz) + i \, \sin (wz)

non lo è, e si può affermare che

 \cos (wz) + i \, \sin (wz) è un valore di \left( \cos z + i \, \sin z \right)^w \,.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Eric W. Weisstein, Formula di de Moivre in MathWorld, Wolfram Research.

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