Formule di Viète

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
bussola Disambiguazione – Se stai cercando la formula relativa al calcolo di π, vedi Formula di Viète.

In matematica, più specificatamente in algebra, le formule di Viète, denominate così da François Viète (1540-1603), sono formule che mettono in relazione le radici di un polinomio con i suoi coefficienti.

Queste formule sono conosciute anche con il nome di formule di Viète-Girard poiché un importante contributo viene anche dal lavoro del matematico Albert Girard (1590-1633).

Le formule[modifica | modifica wikitesto]

Se

P(X)=a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0

è un polinomio di grado n\ge 1 con coefficienti complessi (ciòè i numeri a_0, a_1, \dots, a_{n-1}, a_n sono complessi con a_n\ne 0), per il teorema fondamentale dell'algebra P(X) ha n radici complesse (non necessariamente distinte) x_1, x_2, \dots, x_n.

Le formule di Viète affermano che

x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}
\cdots
x_1 x_2 \cdots x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}.

Queste formule possono essere messe sotto un'unica forma

\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}

per ogni k=1, 2, \dots, n . In altre parole, la somma di tutti i possibili prodotti di k radici di P(X) (con gli indici, di ogni prodotto, in ordine crescente così da evitare ripetizioni di monomi) equivale a (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n},

Questa formula di Viète vale, in forma più generale, per i polinomi con coefficienti in un qualsiasi anello commutativo, poiché in un tale anello un polinomio di grado n ha n radici.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per un polinomio di secondo grado P(X)=aX^2 + bX + c, la formula di Viète afferma che le soluzioni x_1 e x_2 dell'equazione P(X)=0 soddisfano

 x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.

La prima di queste equazioni può essere usata per trovare il minimo (o il massimo) di P. Fai riferimento a polinomio di secondo ordine.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Viète può essere dimostrata rielaborando l'uguaglianza

a_nX^n  + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0 = a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n) ;

questa è vera poiché x_1, x_2, \dots, x_n sono tutte e sole le radici del polinomio in esame. Si tratta poi di sviluppare il prodotto a secondo membro dell'equazione e di identificare i coefficienti di ogni potenza della variabile X.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Teorema Binomiale[modifica | modifica wikitesto]

Queste formule possono essere usate per dimostrare il Teorema binomiale. Il polinomio  (x+y)^n avrà infatti N radici coincidenti (in particolare = -y). Poiché evidentemente il coefficiente di grado n è 1, dalle formule di Viète si avrà che:

(-y) + (-y) + \cdots + (-y) = - a_{n-1}
 (y^2 + y^2 +\cdots + y^2) + (y^2 + y^2 +\cdots + y^2)+\cdots + y^2 = a_{n-2}
\cdots
 y^n = a_0

Il numero dei termini con y^a da sommare in un membro è uguale a tutti i gruppi di a termini su n che si possono formare. Tale numero corrisponde a:

 {n\choose a}

così le formule precedenti si possono riformulare nel seguente modo:

\begin{align}
 - {n\choose 1} y^1 &= - a_{n-1}\\
{n\choose 2} y^2 &= a_{n-2}\\
- {n\choose 3} y^3 &= - a_{n-3}\\
\dots\\
{n\choose 0} y^n &= a_0.
\end{align}

Quindi, moltiplicando eventualmente per -1 entrambi i termini abbiamo che:

 {n\choose k} y^k =  a_{n-k}

Ossia:

(x+y)^n_{} = \sum_{k=0}^n  a_{n-k} x^{n-k}  =\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^{k}

Coefficiente del termine di primo grado[modifica | modifica wikitesto]

Tramite queste formule si arriva a un risultato molto importante usato anche da Eulero nella sua soluzione del Problema di Basilea, riguardante il coefficiente di primo grado. Infatti esso, per le formule di Viète, sarà uguale alla somma di tutti i termini formati dal prodotto di n-1 radici; ossia:

 -a_1 = x_2 x_3 \dots x_n + x_1 x_3 \dots x_n + x_1 x_2 x_4 \dots x_n + \dots + x_1 x_2 x_3 \dots x_{n-1}

Se il termine costante è pari a 1 si può dividere tutta l'espressione per esso, che sempre per le formule di Viète è uguale a:

 a_0 =  x_1x_2 x_3 \dots x_n
 -a_1 = \frac{-a_1}{a_0} = \frac{x_2 x_3 \dots x_n + x_1 x_3 \dots x_n + x_1 x_2 x_4 \dots x_n + \dots + x_1 x_2 x_3 \dots x_{n-1}}{x_1x_2 x_3 \dots x_n} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \dots \frac{1}{x_n}

Ossia, se un polinomio ha il termine costante uguale a 1, la somma degli inversi delle sue radici è uguale al coefficiente del termine lineare cambiato di segno.

La formula si può ulteriormente generalizzare nel seguente modo:

 - \frac{a_1}{a_0} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \dots \frac{1}{x_n}

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica