Serie di Fourier

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La funzione cubica standard resa periodica nell'intervallo (-π , π)
L'approssimazione della funzione sopra con due differenti troncate della sua serie di Fourier

In matematica una serie di Fourier è una rappresentazione di una funzione periodica (che in una accezione con caratteristiche di semplicità si chiede abbia periodo 2π) mediante una somma di funzioni periodiche della forma

x\mapsto e^{inx}  ;

queste sono le potenze di \,e^{ix}\,, cioè le sue armoniche. Grazie alla formula di Eulero, la precedente serie può essere espressa equivalentemente mediante funzioni seno e coseno.
Lo studio della serie di Fourier è una branca dell'analisi di Fourier.
La serie prende il nome dal matematico francese Joseph Fourier (1768-1830), il quale fu il primo a studiare sistematicamente tali serie infinite (esse in precedenza erano state oggetto di investigazioni preliminari da parte di Eulero, d'Alembert, e Daniel Bernoulli). Fourier ha applicato queste serie alla soluzione dell'equazione del calore, pubblicando i suoi risultati iniziali nel 1807 e nel 1811 e l'opera più ampia, intitolata Théorie analytique de la chaleur nel 1822. Secondo il punto di vista moderno i risultati di Fourier sono a livello piuttosto informale, fatto imputabile in buona parte al fatto che la matematica negli anni iniziali del XIX secolo non aveva sviluppata una nozione precisa di funzione e di integrale. Solo dopo la metà del secolo Dirichlet e Riemann hanno riformulato i risultati di Fourier con maggiore precisione e in forma più soddisfacente.

Successivamente sono state introdotte molte altre forme di trasformate collegate a quelle di Fourier. Queste nuove trasformate sono state utilizzate per altre applicazioni estendendo l'idea iniziale di rappresentare ogni funzione periodica come sovrapposizione di armoniche. I campi di indagine che si sono aperti ora in genere vengono fatti afferire alla cosiddetta analisi armonica o analisi in frequenza.

Indice

[modifica] Definizione

La serie di Fourier di una funzione può essere espressa in diverse forme (rettangolare, complessa e polare), matematicamente equivalenti; la scelta di una particolare forma è fatta per mettere in evidenza determinate caratteristiche della funzione di partenza, oppure per convenienza di calcolo.

[modifica] Forma rettangolare

Due approssimazioni di un segnale emesso a intervalli regolari

Consideriamo una funzione di una variabile reale a valori complessi \,f(x)\, che sia periodica con periodo \ 2 \pi e a quadrato integrabile sull'intervallo \,[0,2\pi]\,. Definiamo tramite la "Formula di analisi":

F_n := \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(x)\,e^{-inx}dx .

In tal caso la rappresentazione mediante serie di Fourier della \,f(x)\, è data dalla "Formula di sintesi":

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} .

Ciascuno dei termini di questa somma è chiamato modo di Fourier. Nell'importante caso particolare nel quale la \,f(x)\, è una funzione a valori reali, spesso risulta utile servirsi dell'identità

e^{inx} \,=\, \cos(nx)+i\sin(nx)

per rappresentare equivalentemente \,f(x)\, come combinazione lineare infinita di funzioni della forma \,\cos(nx)\, e \,\sin(nx)\,, cioè come

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] ,

dove

a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \quad\mbox{,}\quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx \quad\mbox{e}\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx ;

questa è la serie di Fourier della funzione.
Essa si riconduce alla precedente rappresentazione mediante le

\,F_n = \frac{a_n - i b_n}{2} \quad\mbox{e}\quad F_n = F_{-n}^* .

[modifica] Forma complessa

La serie di Fourier in forma complessa di una funzione f(x) è:

f(x)= \sum_{n=-\infty}^\infty \gamma_n e^{ \frac{i2\pi nx}{T}}
in cui
\gamma_n \in \mathbb{C}
i= \sqrt{-1}

I coefficienti γn sono calcolati tramite la relazione:

\gamma_n = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) e^{ \frac{-i2\pi nx}{T}}dx

Se la funzione f(x) è reale i coefficienti γn soddisfano la proprietà di simmetria hermitiana

\gamma_n^* = \gamma_{-n}

[modifica] Forma polare

Un'altra forma in cui è possibile esprimere la serie di Fourier di una funzione f(x) reale è la forma polare:

f(x)= c_0 + 2\sum_{n=1}^\infty c_n \cos \left ( \frac{2\pi nx}{T} + \phi_n \right)

I coefficienti c0, cn e φn possono essere definiti partendo dai coefficienti γn della forma complessa:
c_0=\gamma_0 \,\!
c_n= | \gamma_n | \,\!
\phi_n=\angle \gamma_n \,\!

[modifica] Esempio

Approssimazioni successive della funzione identità periodicizzata

Consideriamo la funzione \,f(x) = x\,, funzione identità per la \,x \in[-\pi,\pi]\,. Se si vuole considerare il suo sviluppo all'esterno di questo dominio la serie di Fourier richiede implicitamente che questa funzione sia periodica.

Vogliamo calcolare i coefficienti di Fourier di questa funzione. Conviene osservare subito che \,\cos(nx)\, è una funzione pari, mentre la nostra f e \,\sin(nx)\, sono funzioni dispari.

\frac{a_0}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)dx = 0
b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =
=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx) dx= \frac{2}{\pi}\left( \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} \right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}

Si osservi che \,a_0\, e \,a_n\, sono nulli in quanto x e \,x\cos(nx)\, sono funzioni dispari. Quindi la serie di Fourier per la funzione in esame è:

f(x)=x=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) =
=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)

Può essere interessante vedere l'applicazione della serie di Fourier al calcolo del valore \,\zeta(2)\, della funzione zeta di Riemann.

[modifica] Convergenza delle serie di Fourier

Somma di Fourier approssimante un'onda quadra n=1 (A), n=6 (B), n=40 (C) e n=200 (D) notare come al crescere di n la funzione diventi un'onda quadra

Mentre i coefficienti di Fourier \,a_n\, e \,b_n\, si possono definire formalmente per ogni funzione per la quale ha senso considerare gli integrali che forniscono i loro valori, se la serie così definita converga effettivamente alla \,f(x)\, dipende dalle proprietà specifiche di tale funzione.

La conclusione più semplice si ha quando la \,f(x)\, è a quadrato integrabile; in tal caso

\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N} F_n\,e^{inx}\right|^2\,dx=0

(cioè si ha la convergenza nella norma dello spazio L2).

Si conoscono anche molti criteri che consentono di garantire che la serie converga in un dato punto x. Ad esempio, se la funzione è differenziabile in x. Anche una discontinuità con salto non pone problemi: se la funzione possiede derivate a sinistra e a destra in x, allora la serie di Fourier converge al valore medio dei limiti a sinistra e a destra. Tuttavia si può riscontrare il fenomeno di Gibbs.

Peraltro si ha una possibilità che molti trovano sorprendente: la serie di Fourier di una funzione continua può non convergere punto per punto. Una discussione del controesempio, insieme ad altri risultati positivi e negativi che seguono lo schema generale "per funzioni di tipo X la serie di Fourier converge nel senso Y" si può trovare nell'articolo dedicato espressamente alla Convergenza delle serie di Fourier.

[modifica] Alcune conseguenze utili delle proprietà di omomorfismo della funzione esponenziale

Come conseguenza del fatto che le "funzioni base" \,e^{ikx}\, sono omomorfismi della retta reale sul gruppo circolare,[1] valgono alcune utili identità:

  • Se
g(x)=f(x-y) \,\!

allora, denotando con G la trasformata della g,

G_k \,=\, e^{-iky}F_k .
  • Se \,H_k\, è la trasformata della \,h = f * g \,, allora
H_k \,=\, F_k G_k ,

cioè la trasformata di Fourier di una convoluzione è il prodotto delle trasformate di Fourier. Viceversa, se \,h = fg\,, allora la trasformata di Fourier H of h è la convoluzione delle trasformate di Fourier della f e della g:

H_k=\sum_{i=-\infty}^\infty F_i\, G_{k-i} .

[modifica] Teorema di Parseval

Un'altra importante proprietà delle serie di Fourier è il teorema di Parseval, un caso particolare del teorema di Plancherel e una forma di unitarietà:

\|F\|^2= \sum_{n=-\infty}^\infty |F_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 dx \, .

\|F\|^2 indica la norma al quadrato della funzione. In particolare per la precedente funzione a valori reali f(x):

\frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx.

L'identità ha un significato molto importante ed è relativo esclusivamente alla norma al quadrato: essa eguaglia una funzione periodica alla serie di Fourier corrispondente.

[modifica] Formulazione generale

Una batteria vibra secondo un'onda di Fourier su un cerchio

Le proprietà delle serie di Fourier utili sul piano computazionale in senso lato sono in gran parte conseguenze dalle proprietà di ortogonalità e di omomorfismo delle funzioni \,e^{inx}\,. Molte altre successioni di funzioni ortogonali hanno proprietà simili; però in questi casi si perdono utili identità (ad es. quelle concernenti le convoluzioni) che discendono dalla proprietà di omomorfismo.

Esempi di utili funzioni ortogonali includono le successioni di funzioni di Bessel e i polinomi ortogonali. Tali successioni spesso corrispondono a soluzioni di una equazione differenziale; un'ampia classe di successioni utili sono soluzioni dei cosiddetti problemi di Sturm-Liouville. Essi si riconducono anche alle soluzioni di equazioni di Schrödinger della meccanica ondulatoria.

[modifica] Note

  1. ^ Vale a dire dell'insieme dei numeri complessi di modulo unitario dotato dell'ordinaria moltiplicazione del campo complesso.

[modifica] Bibliografia

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

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