Serie di Fourier

Approssimazione della funzione onda quadra attraverso i primi quattro termini della corrispondente serie di Fourier

In matematica, in particolare in analisi armonica, la serie di Fourier è una rappresentazione di una funzione periodica mediante una combinazione lineare di funzioni sinusoidali fondamentali:

$x_n \mapsto e^{inx}$

Tali funzioni sono i vettori di base del sistema ortonormale trigonometrico, e sono le potenze di $\,e^{ix}$. Attraverso la formula di Eulero possono essere espresse in modo equivalente con le funzioni seno e coseno. Un tale tipo di decomposizione è alla base dell'analisi di Fourier.

Storia

La serie prende il nome dal matematico francese Joseph Fourier (1768-1830), il quale fu il primo a studiare sistematicamente tali serie infinite. In precedenza esse erano state oggetto di investigazioni preliminari da parte di Eulero, d'Alembert e Daniel Bernoulli. Fourier ha applicato tali serie alla soluzione dell'equazione del calore, pubblicando i suoi risultati iniziali nel 1807 e nel 1811. L'opera più ampia, intitolata Théorie analytique de la chaleur, è del 1822. Dopo la metà del secolo Dirichlet e Riemann hanno riformulato i risultati di Fourier con maggiore rigore e precisione e in forma più soddisfacente.

Successivamente sono state introdotte molte altre forme di trasformate integrali che hanno esteso l'idea iniziale di rappresentare ogni funzione periodica come sovrapposizione di armoniche. Esistono infatti molte altre successioni di funzioni ortogonali che godono di proprietà simili a quelle dell'analisi di Fourier, spesso corrispondenti a soluzioni di una opportuna equazione differenziale come, ad esempio, le successioni di funzioni di Bessel. Un'ampia classe di successioni utili, inoltre, è quella delle soluzioni dei cosiddetti problemi di Sturm-Liouville. Essi si riconducono anche alle soluzioni di equazioni di Schrödinger della meccanica ondulatoria.

Definizione

Un polinomio trigonometrico è una funzione periodica di periodo $2\pi$ definita sul campo reale del tipo:

$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\right] = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{int}$

dove $a_i$ e $b_i$ sono numeri reali, $c_i$ complessi e n è intero.

Sia:

$u_n (t) = e^{int} \$

e sia:

$\langle f,\, g \rangle \;\stackrel{\mathrm{def}}{=} \; \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\overline{g(t)}\,dt$

un prodotto interno in $L^2(T)$, dove $T$ è la circonferenza unitaria.

Allora $\{ u_n = e^{i n t},n\in\mathbb{Z}\}$ è una base ortonormale rispetto al prodotto interno così definito, infatti:

$\langle u_n , u_m \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i (n-m) t}dt = \delta_{n,m}$

Un tale sistema ortonormale in $L^2(T)$ è detto sistema ortonormale trigonometrico, ed è un sistema completo.

Si definisce serie di Fourier di una funzione $f \in L^2(T)$ a quadrato sommabile la rappresentazione della funzione per mezzo di una combinazione lineare dei vettori di base $u_n$ del sistema ortonormale trigonometrico:

$\sum_{n=-\infty}^\infty f_n u_n = \sum_{n=-\infty}^\infty f_n e^{int}$

I coefficienti della combinazione sono quindi la proiezione della funzione sui vettori di base stessi:

$f_n = \frac{\langle f,u_n \rangle}{\| u_n \|^2} = \langle f,u_n \rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(t)\,e^{-int}dt$

e sono detti coefficienti di Fourier.

Le somme parziali della serie di Fourier sono inoltre:

$S_N (t) = \sum_{n=-N}^N f_n e^{int} \qquad N=0,1,2 \dots$

La serie di Fourier di una funzione può essere espressa in diverse forme matematicamente equivalenti: rettangolare, complessa e polare.

Forma rettangolare

Due approssimazioni di un segnale emesso a intervalli regolari

Si consideri una funzione di una variabile reale a valori complessi $\,f(x)$ che sia periodica con periodo $\ 2 \pi$ e a quadrato integrabile sull'intervallo $\,[0,2\pi]$. Si definiscono i coefficienti tramite la formula di analisi:

$F_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \, f(x)\,e^{-inx}dx$

e la rappresentazione mediante serie di Fourier di $f(x)$ è allora data dalla formula di sintesi:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}$

Ciascuno dei termini di questa somma è chiamato modo di Fourier. Nell'importante caso particolare nel quale la $\,f(x)$ è una funzione a valori reali, spesso risulta utile servirsi dell'identità $e^{inx} \,=\, \cos(nx)+i\sin(nx)$ per rappresentare equivalentemente $\,f(x)$ come combinazione lineare infinita di funzioni della forma $\,\cos(nx)$ e $\,\sin(nx)$. Si ottiene la serie di Fourier:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$

dove:

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \qquad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$

I coefficienti $a_n$ e $b_n$ esprimono le ampiezze, ovvero i pesi delle sinusoidi e cosinusoidi, e $\frac{a_0}{2}$ corrisponde al valor medio in un periodo della funzione $f(x)$. Tale formulazione si riconduce alla precedente rappresentazione se:

$F_n = \frac{a_n - i b_n}{2} \quad\mbox{e}\quad F_n = F_{-n}^*$

Forma complessa

La serie di Fourier in forma complessa di una funzione $f(x)$ è:

$f(x)= \sum_{n=-\infty}^\infty \gamma_n e^{ \frac{i2\pi nx}{T}}$

in cui

$\gamma_n \in \mathbb{C} \qquad i= \sqrt{-1}$

I coefficienti $\gamma_n$ sono calcolati tramite la relazione:

$\gamma_n = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) e^{ \frac{-i2\pi nx}{T}}dx$

Se la funzione $f(x)$ è reale i coefficienti $\gamma_n$ soddisfano la proprietà di simmetria hermitiana:

$\gamma_n^* = \gamma_{-n}$

Forma polare

Un'altra forma in cui è possibile esprimere la serie di Fourier di una funzione $f(x)$ reale è la forma polare:

$f(x)= c_0 + 2\sum_{n=1}^\infty c_n \cos \left ( \frac{2\pi nx}{T} + \phi_n \right)$

I coefficienti $c_0$, $c_n$ e $\phi_n$ possono essere definiti partendo dai coefficienti $\gamma_n$ della forma complessa:

$c_0=\gamma_0 \quad; \quad c_n= | \gamma_n | \quad; \quad \phi_n=\angle \gamma_n$

Convergenza delle serie di Fourier

Somma di Fourier approssimante un'onda quadra. Si mostrano i casi $n=1$ (A), $n=6$ (B), $n=40$ (C) e $n=200$ (D), dai quali si nota che al crescere di $n$ si migliora l'approssimazione data dallo sviluppo in serie.

In generale, la serie di Fourier di una funzione continua definita sulla circonferenza unitaria non converge alla funzione stessa, e di conseguenza la scrittura:

$f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} S_N (f,x) = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t) \sum_{k=-n}^n e^{ikt} dt \qquad n=0,1,2 \dots$

non vale per ogni funzione. Questo può essere provato, ad esempio, attraverso il teorema di Banach-Steinhaus. In particolare, per ogni numero reale $x$ esiste un sottoinsieme denso $E_x$ dello spazio $C(T)$ delle funzioni continue definite su $T$ tale che:

$\sup_n | S_N (f,x) | = \infty \quad \forall f \in E_x$

Si dimostra tuttavia che per $f \in C(T)$ esiste un polinomio trigonometrico $P$ tale che:

$|f(t) - P(t) | < \epsilon$

per ogni t reale. In particolare, nel 1904 il matematico ungherese Lipót Fejér mostrò che la media aritmetica delle somme parziali della serie di Fourier di $f$ converge uniformemente al valore della funzione stessa.

Nonostante i coefficienti di Fourier $\,a_n$ e $\,b_n$ si possano definire formalmente per ogni funzione tale per cui abbia senso considerare gli integrali che li caratterizzano, la convergenza della serie definita attraverso di essi alla funzione dipende dalle proprietà specifiche di tale funzione. Se $\,f(x)$ è a quadrato integrabile si ha:

$\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-\sum_{n=-N}^{N} F_n\,e^{inx}\right|^2\,dx=0$

Ottenendo così una convergenza nella norma dello spazio L².

Esistono altri criteri che consentono di garantire che la serie converga in un dato punto, ad esempio il fatto che la funzione sia differenziabile nel punto. Anche una discontinuità con salto è accettabile, poiché se la funzione possiede derivate a sinistra e a destra allora la serie di Fourier converge al valore medio dei rispettivi limiti a sinistra e a destra. Si può tuttavia riscontrare il fenomeno di Gibbs, e si ha la possibilità che la serie di Fourier di una funzione continua non converga punto per punto.

Proprietà

La pelle di un tamburo vibra secondo un'onda di Fourier su un cerchio

Le proprietà delle serie di Fourier sono in gran parte conseguenze delle proprietà di ortogonalità e di omomorfismo delle funzioni $\,e^{inx}$, ed in generale delle proprietà del gruppo delle rotazioni.

Le funzioni $\,e^{ikx}$ appartenenti alla base ortonormale sono omomorfismi del gruppo additivo della retta reale sul gruppo circolare, ovvero dell'insieme dei numeri complessi di modulo unitario dotato dell'ordinaria moltiplicazione del campo complesso.

Come conseguenza di questo fatto, se:

$g(x)=f(x-y)$

allora, denotando con $G$ la trasformata di $g$, si ha:

$G_k \,=\, e^{-iky}F_k$

Inoltre, se $\,H_k$ è la trasformata di $\,h = f * g$, allora:

$H_k \,=\, F_k G_k$

Ovvero, il coefficiente di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto dei coefficienti di Fourier dello stesso grado delle due funzioni stesse.

Scambiando i ruoli di prodotto usuale e prodotto di convoluzione, se $h = f\cdot g$ allora i coefficienti di tale funzione prodotto sono dati dalla convoluzione su $\Z$ dei coefficienti delle funzioni $f$ e $g$:

$H_k=\sum_{i=-\infty}^\infty F_i\, G_{k-i}$

I teoremi di Riesz-Fischer e Parseval determinano inoltre due importanti proprietà delle serie di Fourier.

Il teorema di Riesz-Fischer

Per approfondire, vedi Teorema di Riesz-Fischer.

Il teorema di Riesz-Fischer stabilisce che in uno spazio completo ogni successione in $\ell^2$ definisce una funzione a quadrato integrabile. In particolare, il teorema determina le condizioni per cui gli elementi di una successione in $l^2$ sono i coefficienti di Fourier di un qualche vettore di $L^2$.

Sia $\{ u_n \}$ un sistema ortonormale di polinomi in uno spazio di Hilbert $H$ e sia $c_n$ una successione. Allora esiste un unico vettore $f \in H$ tale che gli elementi della successione siano i coefficienti di Fourier di $f$:

$c_n = (f, u_n)$

dove $(,)$ è un prodotto interno. La successione definisce quindi una funzione $f$ in $L^2$.

Il teorema di Parseval

Per approfondire, vedi Teorema di Parseval.

Siano $A(x)$ e $B(x)$ due funzioni Riemann integrabili a valori complessi definite su R. Siano esse periodiche con periodo 2π e siano le loro serie di Fourier date rispettivamente da:

$A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx} \qquad B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}$

Allora:

$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} dx$

Come caso particolare, se $A(x) = B(x) = f(x) \in L^2([-\pi,\pi])$ si ha:

$\sum_{n=-\infty}^\infty |\hat{f}(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx$.

Esempio

Approssimazioni successive della funzione identità periodicizzata

Si consideri la funzione $\,f(x) = x$, funzione identità per la $\,x \in[-\pi,\pi]$. Se si vuole considerare il suo sviluppo all'esterno di questo dominio, la serie di Fourier richiede implicitamente che questa funzione sia periodica.

Per calcolare i coefficienti di Fourier di questa funzione conviene osservare che $\,\cos(nx)$ è una funzione pari, mentre $f$ e $\,\sin(nx)$ sono funzioni dispari.

$\frac{a_0}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x dx= 0$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)dx = 0$

$b_n= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =$

$=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx) dx= \frac{2}{\pi}\left( \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} \right)=(-1)^{n+1}\frac{2}{n}$

Si osservi che $\,a_0$ e $\,a_n$ sono nulli in quanto $\,x$ e $\,x\cos(nx)$ sono funzioni dispari. Quindi la serie di Fourier per la funzione in esame è:

$f(x)=x=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2}{n} \sin(nx), \quad \forall x\in (-\pi,\pi)$

Può essere interessante vedere l'applicazione della serie di Fourier al calcolo del valore $\,\zeta(2)$ della funzione zeta di Riemann.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341
• Ulisse Dini (1880): Serie di Fourier e altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale T. Nistri.
• William E. Byerly (1893): An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics Ginn & Company.
• Horatio S. Carslaw (1921): Introduction to the theory of Fourier's series and integrals, Macmillan & co., ltd.
• E. W. Hobson (1926): The Theory Of Functions Of A Real Variable And The Theory Of Fourier's Series Vol. 2, Cambridge University Press.
• Antoni Zygmund (1935): Trigonometrical series, Subwencji Fundusz Kultury Narodowej
• Yitzhak Katznelson (1976): An introduction to harmonic analysis, Second corrected edition. Dover Publications, ISBN 0-486-63331-4

Voci correlate

• Analisi armonica
• Analisi di Fourier
• Base (algebra lineare)
• Calcolo umbrale
• Combinazione lineare
• Convoluzione
• Fenomeno di Gibbs
• Funzione periodica
• Rappresentazione spettrale dei segnali
• Sinusoide
• Spazio di Hilbert
• Teorema di Parseval
• Teorema di Riesz-Fischer
• Teoria di Sturm-Liouville
• Trasformata di Fourier

Collegamenti esterni

• Java applet che visualizza lo sviluppo in serie di Fourier di una qualsiasi funzione

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