Criteri di convergenza

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In analisi matematica i criteri di convergenza per le serie sono condizioni sufficienti per la determinazione del carattere della serie.

Serie a termini concordi[modifica | modifica sorgente]

Primo criterio del confronto[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo due serie a termini non negativi \sum a_n e \sum b_n tali che \ a_n \leq \ b_n:

  • se la maggiorante converge, la minorante è convergente;
  • se la minorante diverge, la maggiorante è divergente.

Questo criterio viene utilizzato per dimostrare che la serie armonica generalizzata è divergente per α ≤ 1.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Data la successione di somme parziali (S_n) di \sum a_n, dove (S_n) è monotona crescente: \lim_{n \to +\infty}S_n = \sup{S_n}.

Idem con (T_n) successione di somme parziali di \sum b_n: \lim_{n \to +\infty}T_n = \sup{T_n}.

Abbiamo che: \sum a_n = \sup{S_n} \leq \sum b_n = \sup{T_n}, dove non è da escludere che gli estremi superiori possano assumere anche il valore +\infty.

Quanto affermato nel criterio ne segue immediatamente.

Secondo criterio del confronto o del confronto asintotico[modifica | modifica sorgente]

Date due serie a termini positivi \sum a_n e \sum b_n

se b_n è convergente e \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = l, dove l esiste ed è finito, allora a_n è convergente;

se b_n è divergente e \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} > 0 (anche +\infty), allora a_n è divergente.

Il criterio del confronto asintotico è utile per far vedere che la serie armonica generalizzata è convergente per \alpha > 1.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Dato che \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = l, 0<l<+\infty , per definizione di limite di successione abbiamo che:


\forall\varepsilon>0 \;\exists n_0 : \forall n>n_0 \; |\frac{a_n}{b_n} - l| <\varepsilon


se prendo \varepsilon = 1, allora ho: |\frac{a_n}{b_n} - l| < 1, che si può riscrivere: (l-1)b_n < a_n < (l+1)b_n.


Dunque poiché b_n converge anche (l-1)b_n e (l+1)b_n convergono, di conseguenza anche a_n converge.

Analogamente per b_n divergente.

Confronto con la serie geometrica: criteri derivati e stima del resto[modifica | modifica sorgente]

Per applicare i criteri di confronto in modo diretto bisogna prendere in considerazione due serie, di cui una abbia un carattere noto (cioè si sappia se converge o meno), mentre l'altra abbia un carattere da valutare in base al confronto. Una delle due serie fa dunque da serie di riferimento.

Se però come serie di riferimento \sum b_n fissiamo una particolare serie e confrontiamo una generica serie \sum a_n con la serie fissata, allora - avendo fissato una delle serie - il criterio del confronto si riduce a delle condizioni sui termini a_n. Si ottengono così una serie di criteri derivati, che fanno riferimento esplicitamente ad una sola serie di cui si vuole stabilire il carattere, ma che tuttavia "sottintendono" un confronto con la serie di riferimento fissata. Quando si applicano tali criteri è importante tenere presente quale sia la serie "sottintesa", poiché ovviamente la stima del criterio derivato non potrà essere più raffinata di quella che si otterrebbe da un confronto diretto dalla serie studiata con quella di riferimento.

Una delle serie più utili come serie di riferimento per il confronto è la serie geometrica, cioè la successione delle somme parziali delle potenze di un argomento dato:

s_N = \sum_{n=0}^N k^n = \frac{1-k^{N+1}}{1-k}

Applicando i criteri di confronto al confronto con questa serie si possono ricavare i seguenti criteri derivati:

Criterio della radice (o di Cauchy)[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo una serie a termini non negativi \sum_{n=1}^{+\infty} a_n per la quale esista il limite \lim_{n \to +\infty} \sqrt [n] a_n = k .

Il carattere della serie risulta:

  • convergente se k \,<\,1
  • divergente se k \,>\,1
  • non si può stabilire il carattere della serie se k = 1
Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Basta osservare che se \lim_{n \to +\infty} \sqrt [n] a_n = k < 1 allora possiamo fissare un k' fra k e 1 tale che per tutti gli n maggiori di un certo N abbastanza grande i termini della successione siano minori di k':

\forall n > N, \quad\sqrt [n] a_n < k' < 1

Elevando per n si ottiene dunque:

\forall n > N, \quad a_n < k'^n

Applicando allora il criterio del confronto fra la serie \sum a_n e la serie geometrica \sum k'^n si ha che la serie converge.

Se \lim_{n \to +\infty} \sqrt [n] a_n = k > 1 allora esiste N tale che per ogni n>N si ha \sqrt[n]{a_n}>1 da cui a_n>1. Dato che a_n non tende a 0 la serie

\sum_{n=0}^{\infty}a_n

diverge.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Stabiliamo il carattere della serie:

\sum_{n =1}^{\infty}n^\beta a^n \ \ \ \ \ \beta \in \R, \ a > 0.

Applicando il criterio della radice abbiamo:

\sqrt[n]{n^\beta a^n}  = n^{\beta \over n} a.

Ma

\lim_{n \to \infty}n^{\beta \over n} a = a

come si deduce facilmente passando al logaritmo:

\lim_{n \to \infty}e^{\log n^{\beta \over n}+\log a} = \lim_{n \to \infty}e^{{\beta \over n}\log n +\log a} = e^{\log a} = a

Quindi \ \forall \beta \in \R se \ a < 1 la serie converge, mentre se \ a > 1 la serie diverge.

Per \ a = 1 la serie diviene la serie armonica generalizzata con \ \alpha = - \beta che diverge se \ \beta \ge - 1 e converge se \ \beta < - 1.

Criterio del rapporto (o di d'Alembert)[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo una serie a termini positivi \sum_{n=1}^{+\infty} a_n tale che esista il limite \lim_{n \to +\infty} {a_{n+1} \over a_n} = k , allora la serie:

  • converge se  k \,<\, 1
  • diverge se  k \,>\, 1
  • non stabilisce il comportamento della serie se k = 1
Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Caso (I): Se \lim_{n \to +\infty} {a_{n+1} \over a_n} = k < 1 allora possiamo fissare un numero k' fra k e 1 tale che per tutti gli n maggiori di un certo N abbastanza grande il rapporto fra due termini successivi sia minore di k', cioè:

\forall n > N, \frac{a_{n+1}}{a_n} < k' < 1

da cui:

a_{n+1} < k' a_n < a_n \;

Dal momento che questa relazione vale per tutti gli n maggiori di N, partendo da un generico termine a_n possiamo procedere a ritroso fino a N+1:

a_n < k' a_{n-1} < k'^2 a_{n-2} < k'^{n-(N+1)} a_{N+1} = \left ( \frac{a_{N+1}}{k'^{N+1}} \right ) k'^n

sicché la successione a_n risulta minore della successione delle potenze di k' a meno di una costante moltiplicativa. Dunque, per il criterio del confronto, la serie data converge.

Caso (II): Se \lim_{n \to +\infty} {a_{n+1} \over a_n} = k > 1; allora possiamo fissare un numero k' fra k e 1 tale che:  1 < k'  < k

Poiché :\lim_{n \to +\infty} {a_{n+1} \over a_n} = k allora

\forall n > N, \frac{a_{n+1}}{a_n} > k' > 1, cioè:
a_{n+1} > k'{a_n}.

Quindi:

a_{N+1} > k'{a_N}
a_{N+2} > k'a_{N+1} > k'^2{a_N}

...

a_{N+x} > k'^x{a_N}

Quindi \sum_{n=N}^{+\infty} a_n diverge, utilizzando il criterio del confronto rispetto alla serie \sum_{n=0}^{+\infty} k'^n, una serie geometrica con ragione k maggiore di 1 e quindi divergente.

Di conseguenza, andando a ritroso, anche la serie \sum_{n=0}^{+\infty} a_n è divergente.

Stima del resto[modifica | modifica sorgente]

Il confronto con la serie geometrica rende particolarmente agevole la valutazione del "resto", cioè dell'errore che si commette calcolando la somma di una serie fermandosi al suo N-esimo termine:

\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^N a_n + R_N

Supponiamo infatti di avere una serie \sum a_n tale che da un certo N in poi i termini a_n siano minori dei termini di una serie geometrica di argomento k a meno di una costante moltiplicativa C:

\forall n > N, \quad a_n < C k^n

Allora non solo la serie \sum a_n converge, ma si ha anche:

R_N = \sum_{n=N+1}^\infty a_n < C \sum_{n=N+1}^\infty k^n = C \frac{k^{N+1}}{1-k}

Questa espressione si semplifica ulteriormente nel caso in cui il confronto della serie \sum a_n con la serie geometrica venga ottenuto per mezzo del criterio del rapporto. In quel caso infatti, come si è mostrato nella Dimostrazione, esiste una certa costante k'<1 e un certo intero N abbastanza grande tale che:

\forall n>N, a_n < \left ( \frac{a_{N+1}}{k'^{N+1}} \right ) k'^n \;

Possiamo dunque applicare la formula per il resto precedentemente trovata, con la costante moltiplicativa C = \frac{a_{N+1}}{k'^{N+1}}, ottenendo:

R_N < \frac{a_{N+1}}{k'^{N+1}} \frac{k'^{N+1}}{1-k'} = \frac{a_{N+1}}{1-k'}

Dunque nei casi in cui si applica il criterio del rapporto il resto N-esimo della serie da stimare è limitato, a meno di una costante moltiplicativa, dall'(N+1)-esimo termine della serie. Questa è una relazione molto importante per gli sviluppi in serie di funzioni.

Criterio di Raabe[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo una serie \sum_{n=1}^{+\infty} a_n a termini positivi, per la quale esiste il limite \lim_{n \to \infty} n \left({{a_n} \over{a_{n+1}}  }-1\right) = l  ;

se l > 1 la serie converge, mentre se l < 1 la serie diverge; se l = 1 il criterio non contribuisce a chiarire il suo comportamento.


Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Dimostriamo la divergenza


Dato che l < 1 per definizione di limite di successioni avremo:

\exists \alpha \in N : \forall n \geq  \alpha \Rightarrow 
n\left ( \frac{a_{n}}{a_ {n+1}}-1 \right ) < 1

Facendo qualche semplice passaggio si ottiene:


\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1<\frac{1}{n}\Rightarrow\frac{a_{n}}{a_{n+1}}<1+\frac{1}{n}\Rightarrow\frac{a_{n}}{a_{n+1}}<\frac{n+1}{n}
\Rightarrow na_{n}<(n+1)a_{n+1} questo vale per \forall n>=\alpha .


da questa posso scrivere:


na_{n}> \alpha a_{\alpha }\Rightarrow a_{n}> \frac{\alpha a_{\alpha}}{n}


dove:


\sum_{n=1}^{\infty } \frac{\alpha a_{\alpha}}{n} = + \infty


Perché quest'ultima è una serie armonica moltiplicata per una costante.

Inoltre per il Criterio del Confronto risulta che


\sum_{n=1}^{\infty} a_n=+\infty

C.V.D.

Criterio di condensazione di Cauchy[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di condensazione di Cauchy.

Se  a_n è una successione positiva non crescente, la serie

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

converge se e solo se converge la serie

\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n}

Serie a termini discordi[modifica | modifica sorgente]

Criterio di convergenza assoluta[modifica | modifica sorgente]

Data una serie \sum a_n, si dice che essa è assolutamente convergente se \sum { | a_n |} converge.

Teorema[modifica | modifica sorgente]

Se una serie è convergente assolutamente è anche convergente.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Sia \sum a_k una serie.

Consideriamo \sum{ | a_k | }; per ipotesi, essa converge. Allora
\sum{ | a_k | } \text{ converge } \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \nu : \forall n \ge \nu,  \forall p \ge 1, \bigg| \sum_{k=n+1}^{n+p}{ | a_k | }\bigg| < \varepsilon \quad (deve essere soddisfatta la condizione di Cauchy sulle serie)

 \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \nu : \forall n \ge \nu \forall p \ge 1, \sum_{k=n+1}^{n+p}{ | a_k | } < \varepsilon \quad (la serie dei moduli non è mai negativa)

 \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \nu : \forall n \ge \nu \forall p \ge 1, \bigg| \sum_{k=n+1}^{n+p}{ a_k } \bigg| < \varepsilon \quad (minorazione tramite la diseguaglianza triangolare: la somma dei moduli è maggiore eguale al modulo della somma)

 \Leftrightarrow \sum{ a_k } \text{ converge }.

Q.E.D.

Criterio di Leibniz[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di Leibniz.

Si dicono serie a termini di segno alterno le serie a termini reali tali che due termini consecutivi hanno segno opposto.
La serie \sum (-1)^na_n è dunque a termini di segno alterno, infatti:

  • per n pari il termine è positivo;
  • per n dispari il termine è negativo.

Per queste serie vale il seguente criterio di Leibniz:

Data la serie di termini a segno alterno S_N = \sum_{n=0}^N (-1)^na_n, se la successione |a_n| è definitivamente positiva, decrescente e tende a 0, cioè:

  • |a_n| \geq |a_{n+1}| > 0 \ \forall n < N
  • \lim_{n \to \infty}|a_n| = 0

allora si ha che:

  • la serie è convergente ad S \in \R
  • Le somme parziali di ordine pari e quelle di ordine dispari sono monotone e tendono ad S
  • |S_n - S| \leq |a_{n+1}| \forall n, il resto n-esimo è minore al termine a_{n+1}

Criterio di Dirichlet[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di Dirichlet (matematica).

Il criterio di Dirichlet per le serie generalizza il criterio di Leibniz. Siano \{a_n\} e  \{b_n\} due successioni. Se a_n tende monotonamente a 0, e se la serie dei b_n è limitata, cioè se

a_n \ge a_{n+1} \ge \cdots > 0
|\sum_{n=1}^{N}b_n| < M \quad \forall N,

allora la serie \sum_{n=1}^{+\infty}{a_n b_n} è convergente. In particolare, ponendo b_n = (-1)^n si ottiene il criterio di Leibniz.

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