Criteri di convergenza

In analisi matematica i criteri di convergenza per le serie sono condizioni sufficienti per la determinazione del carattere della serie.

Serie a termini concordi

Primo criterio del confronto

Consideriamo due serie a termini non negativi $\sum a_n$ e $\sum b_n$ tali che $\ a_n$ $\leq$ $\ b_n$:

• se la maggiorante converge, la minorante è convergente;
• se la minorante diverge, la maggiorante è divergente.

Questo criterio viene utilizzato per dimostrare che la serie armonica generalizzata è divergente per α ≤ 1.

Dimostrazione

Data la successione di somme parziali $(S_n)$ di $\sum a_n$, dove $(S_n)$ è monotona crescente: $\lim_{n \to +\infty}S_n = \sup{S_n}$.

Idem con $(T_n)$ successione di somme parziali di $\sum b_n$: $\lim_{n \to +\infty}T_n = \sup{T_n}$.

Abbiamo che: $\sum a_n = \sup{S_n} \leq \sum b_n = \sup{T_n}$, dove non è da escludere che gli estremi superiori possano assumere anche il valore $+\infty$.

Quanto affermato nel criterio ne segue immediatamente.

Secondo criterio del confronto o del confronto asintotico

Date due serie a termini positivi $\sum a_n$ e $\sum b_n$

se $\ b_n$ è convergente e $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = l$, dove $l$ esiste ed è finito, allora $\ a_n$ è convergente;

se $\ b_n$ è divergente e $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} > 0$ (anche $+\infty$), allora $\ a_n$ è divergente.

Il criterio del confronto asintotico è utile per far vedere che la serie armonica generalizzata è convergente per α > 1.

Dimostrazione

Dato che $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = l, 0<l<+\infty$, per definizione di limite di successione abbiamo che:

$\forall\varepsilon>0 \;\exists n_0 : \forall n>n_0 \; |\frac{a_n}{b_n} - l| <\varepsilon$

se prendo $\varepsilon = 1$, allora ho: $|\frac{a_n}{b_n} - l| < 1$, che si può riscrivere: $(l-1)b_n < a_n < (l+1)b_n$.

Dunque poiché $b_n$ converge anche $(l-1)b_n$ e $(l+1)b_n$ convergono, di conseguenza anche $a_n$ converge.

Analogamente per $b_n$ divergente.

Confronto con la serie geometrica: criteri derivati e stima del resto

Per applicare i criteri di confronto in modo diretto bisogna prendere in considerazione due serie, di cui una abbia un carattere noto (cioè si sappia se converge o meno), mentre l'altra abbia un carattere da valutare in base al confronto. Una delle due serie fa dunque da serie di riferimento.

Se però come serie di riferimento $\sum b_n$ fissiamo una particolare serie e confrontiamo una generica serie $\sum a_n$ con la serie fissata, allora - avendo fissato una delle serie - il criterio del confronto si riduce a delle condizioni sui termini $a_n$. Si ottengono così una serie di criteri derivati, che fanno riferimento esplicitamente ad una sola serie di cui si vuole stabilire il carattere, ma che tuttavia "sottintendono" un confronto con la serie di riferimento fissata. Quando si applicano tali criteri è importante tenere presente quale sia la serie "sottintesa", poiché ovviamente la stima del criterio derivato non potrà essere più raffinata di quella che si otterrebbe da un confronto diretto dalla serie studiata con quella di riferimento.

Una delle serie più utili come serie di riferimento per il confronto è la serie geometrica, cioè la successione delle somme parziali delle potenze di un argomento dato:

$s_N = \sum_{n=0}^N k^n = \frac{1-k^{N+1}}{1-k}$

Applicando i criteri di confronto al confronto con questa serie si possono ricavare i seguenti criteri derivati:

Criterio della radice (o di Cauchy)

Consideriamo una serie a termini non negativi $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ per la quale esista il limite $\lim_{n \to +\infty} \sqrt [n] a_n = k$ .

Il carattere della serie risulta:

• convergente se $k \,<\,1$
• divergente se $k \,>\,1$
• non si può stabilire il carattere della serie se $k = 1$

Dimostrazione

Basta osservare che se $\lim_{n \to +\infty} \sqrt [n] a_n = k < 1$ allora possiamo fissare un $k'$ fra $k$ e 1 tale che per tutti gli $n$ maggiori di un certo $N$ abbastanza grande i termini della successione siano minori di $k'$:

$\forall n > N, \quad\sqrt [n] a_n < k' < 1$

Elevando per $n$ si ottiene dunque:

$\forall n > N, \quad a_n < k'^n$

Applicando allora il criterio del confronto fra la serie $\sum a_n$ e la serie geometrica $\sum k'^n$ si ha che la serie converge.

Se $\lim_{n \to +\infty} \sqrt [n] a_n = k > 1$ allora esiste $N$ tale che per ogni $n>N$ $\sqrt[n]{a_n}>1$ da cui $a_n>1$. Dato che $a_n$ non tende a 0 la serie

$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$

diverge.

Esempio

Stabiliamo il carattere della serie:

$\sum_{n =1}^{\infty}n^\beta a^n \ \ \ \ \ \beta \in \R, \ a > 0$.

Applicando il criterio della radice abbiamo:

$\sqrt[n]{n^\beta a^n} = n^{\beta \over n} a$.

Ma

$\lim_{n \to \infty}n^{\beta \over n} a = a$

come si deduce facilmente passando al logaritmo:

$\lim_{n \to \infty}e^{\log n^{\beta \over n}+\log a} = \lim_{n \to \infty}e^{{\beta \over n}\log n +\log a} = e^{\log a} = a$

Quindi $\ \forall \beta \in \R$ se $\ a < 1$ la serie converge, mentre se $\ a > 1$ la serie diverge.

Per $\ a = 1$ la serie diviene la serie armonica generalizzata con $\ \alpha = - \beta$ che diverge se $\ \beta \ge - 1$ e converge se $\ \beta < - 1$.

Criterio del rapporto (o di d'Alembert)

Consideriamo una serie a termini positivi $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ tale che esista il limite $\lim_{n \to +\infty} {a_{n+1} \over a_n} = k$

• converge se $k \,<\, 1$
• diverge se $k \,>\, 1$
• non stabilisce il comportamento della serie se $k = 1$

Dimostrazione

Caso (I): Se $\lim_{n \to +\infty} {a_{n+1} \over a_n} = k < 1$ allora possiamo fissare un numero k' fra k e 1 tale che per tutti gli n maggiori di un certo N abbastanza grande il rapporto fra due termini successivi sia minore di k', cioè:

$\forall n > N, \frac{a_{n+1}}{a_n} < k' < 1$

da cui:

$a_{n+1} < k' a_n < a_n \;$

Dal momento che questa relazione vale per tutti gli n maggiori di N, partendo da un generico termine $a_n$ possiamo procedere a ritroso fino a N+1:

$a_n < k' a_{n-1} < k'^2 a_{n-2} < k'^{n-(N+1)} a_{N+1} = \left ( \frac{a_{N+1}}{k'^{N+1}} \right ) k'^n \;$

sicché la successione $a_n$ risulta minore della successione delle potenze di k' a meno di una costante moltiplicativa. Dunque, per il criterio del confronto, la serie data converge.

Caso (II): Se $\lim_{n \to +\infty} {a_{n+1} \over a_n} = k > 1;$ allora possiamo fissare un numero k' fra k e 1 tale che:$1 < k' < k \;$

Poiché :$\lim_{n \to +\infty} {a_{n+1} \over a_n} = k$ allora

$\forall n > N, \frac{a_{n+1}}{a_n} > k' > 1$, cioè:

$a_{n+1} > k'{a_n}\;$.

Quindi:

$a_{N+1} > k'{a_N}\;$

$a_{N+2} > k'a_{N+1} > k'^2{a_N}\;$

...

$a_{N+x} > k'^x{a_N}\;$

Quindi $\sum_{n=N}^{+\infty} a_n$ diverge, utilizzando il criterio del confronto rispetto alla serie $\sum_{n=0}^{+\infty} k'^n$, una serie geometrica con ragione k maggiore di 1 e quindi divergente.

Di conseguenza, andando a ritroso, anche la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$ è divergente.

Stima del resto

Il confronto con la serie geometrica rende particolarmente agevole la valutazione del "resto", cioè dell'errore che si commette calcolando la somma di una serie fermandosi al suo N-esimo termine:

$\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^N a_n + R_N$

Supponiamo infatti di avere una serie $\sum a_n$ tale che da un certo N in poi i termini $a_n$ siano minori dei termini di una serie geometrica di argomento k a meno di una costante moltiplicativa C:

$\forall n > N, \quad a_n < C k^n$

Allora non solo la serie $\sum a_n$ converge, ma si ha anche:

$R_N = \sum_{n=N+1}^\infty a_n < C \sum_{n=N+1}^\infty k^n = C \frac{k^{N+1}}{1-k}$

Questa espressione si semplifica ulteriormente nel caso in cui il confronto della serie $\sum a_n$ con la serie geometrica venga ottenuto per mezzo del criterio del rapporto. In quel caso infatti, come si è mostrato nella Dimostrazione, esiste una certa costante $k'<1$ e un certo intero N abbastanza grande tale che:

$\forall n>N, a_n < \left ( \frac{a_{N+1}}{k'^{N+1}} \right ) k'^n \;$

Possiamo dunque applicare la formula per il resto precedentemente trovata, con la costante moltiplicativa $C = \frac{a_{N+1}}{k'^{N+1}}$, ottenendo:

$R_N < \frac{a_{N+1}}{k'^{N+1}} \frac{k'^{N+1}}{1-k'} = \frac{a_{N+1}}{1-k'}$

Dunque nei casi in cui si applica il criterio del rapporto il resto N-esimo della serie da stimare è limitato, a meno di una costante moltiplicativa, dall'(N+1)-mo termine della serie. Questa è una relazione molto importante per gli sviluppi in serie di funzioni.

Criterio di Raabe

Consideriamo una serie $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ per la quale esiste il limite $\lim_{n \to \infty} n \left({{a_n} \over{a_{n+1}} }-1\right) = l$ ;

se l > 1 la serie converge, mentre se l < 1 la serie diverge; se l = 1 il criterio non contribuisce a chiarire il suo comportamento.

Dimostrazione

Dimostriamo la divergenza

Dato che l < 1 per definizione di limite di successioni avremo:

$\exists \alpha \in N : \forall n \geq \alpha \Rightarrow n\left ( \frac{a_{n}}{a_ {n+1}}-1 \right ) < 1$

Facendo qualche semplice passaggio si ottiene:

$\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1<\frac{1}{n}\Rightarrow\frac{a_{n}}{a_{n+1}}<1+\frac{1}{n}\Rightarrow\frac{a_{n}}{a_{n+1}}<\frac{n+1}{n} \Rightarrow na_{n}<(n+1)a_{n+1}$ questo vale per $\forall n>=\alpha$.

da questa posso scrivere:

$na_{n}> \alpha a_{\alpha }\Rightarrow a_{n}> \frac{\alpha a_{\alpha}}{n}$

dove:

$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{\alpha a_{\alpha}}{n} = + \infty$

Perché quest'ultima è una serie armonica moltiplicata per una costante.

Inoltre per il Criterio del Confronto risulta che

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n=+\infty$ C.V.D.

Criterio di condensazione di Cauchy

Per approfondire, vedi Criterio di condensazione di Cauchy.

La serie

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$

converge se e solo se converge la serie

$\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n}$

Serie a termini discordi

Criterio di convergenza assoluta

Data una serie $\sum a_n$, si dice che essa è assolutamente convergente se $\sum { | a_n |}$ converge.

Teorema

Se una serie è convergente assolutamente è anche convergente semplicemente.

Dimostrazione

Sia $\sum a_k$ una serie.

Consideriamo $\sum{ | a_k | }$; per ipotesi, essa converge. Allora
$\sum{ | a_k | } \text{ converge } \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \nu : \forall n \ge \nu, \forall p \ge 1, \bigg| \sum_{k=n+1}^{n+p}{ | a_k | }\bigg| < \varepsilon \quad$ (deve essere soddisfatta la condizione di Cauchy sulle serie)

$\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \nu : \forall n \ge \nu \forall p \ge 1, \sum_{k=n+1}^{n+p}{ | a_k | } < \varepsilon \quad$ (la serie dei moduli non è mai negativa)

$\Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \nu : \forall n \ge \nu \forall p \ge 1, \bigg| \sum_{k=n+1}^{n+p}{ a_k } \bigg| < \varepsilon \quad$ (minorazione tramite la diseguaglianza triangolare: la somma dei moduli è maggiore eguale al modulo della somma)

$\Leftrightarrow \sum{ a_k } \text{ converge }$.

Q.E.D.

Criterio di Leibniz

Per approfondire, vedi Criterio di Leibniz.

Si dicono serie a termini di segno alterno le serie a termini reali tali che due termini consecutivi hanno segno opposto.
La serie $\sum (-1)^na_n$ è dunque a termini di segno alterno, infatti:

• per n pari il termine è positivo;
• per n dispari il termine è negativo.

Per queste serie vale il seguente criterio di Leibniz:

Data la serie di termini a segno alterno $S_N = \sum_{n=0}^N (-1)^na_n$, se la successione $|a_n|$ è definitivamente positiva, decrescente e tende a 0, cioè:

• $|a_n| \geq |a_{n+1}| \geq 0 \ \forall n < N$
• $\lim_{n \to \infty}|a_n| = 0$

allora si ha che:

• la serie è convergente ad $S \in \R$
• Le somme parziali di ordine pari e quelle di ordine dispari sono monotone e tendono ad $S$
• $|S_n - S| \leq |a_{n+1}| \forall n$, il resto n-esimo è minore al termine $a_{n+1}$

Criterio di Dirichlet

Per approfondire, vedi Criterio di Dirichlet (matematica).

Il criterio di Dirichlet per le serie generalizza il criterio di Leibniz. Siano $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ due successioni. Se $a_n$ tende monotonamente a 0, e se la serie dei $b_n$ è limitata, cioè se

$a_n \ge a_{n+1} \ge \cdots > 0$

$|\sum_{n=1}^{N}b_n| < M \quad \forall N$,

allora la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n b_n}$ è convergente. In particolare, ponendo $b_n = (-1)^n$ si ottiene il criterio di Leibniz.

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