Teorema di Riemann-Dini

In matematica, il teorema di Riemann Dini (anche noto come teorema di riarrangiamento di Riemann) è un teorema sulle serie a valori reali semplicemente convergenti, chiamato così in onore dei matematici Bernhard Riemann e Ulisse Dini.

Il teorema afferma che se una serie è (semplicemente) convergente ma non assolutamente convergente allora, dato un qualsiasi numero reale, esiste una permutazione dei suoi termini che la rende convergente a tale numero; inoltre esistono permutazioni dei termini che rendono la serie divergente a $+\infty$ ed a $-\infty$.

Enunciato

Sia $\left\{u_n\right\}_{n \in \N}$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

$\sum_{k=0}^n u_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \R,$

ma non assolutamente convergente,

$\sum_{k=0}^n |u_k| \underset{n \longrightarrow +\infty}{\longrightarrow} + \infty.$

Sia inoltre $\alpha \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}$. Allora esiste una permutazione

$\sigma:\N\longrightarrow\N$

tale che

$\sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \alpha.$

Dimostrazione

Lemma

Per ogni $n \in \N$ si ponga

$\begin{align} a_n:=&\max\{u_n,0\},\\ b_n:=&\min\{0,u_n\}. \end{align}$

(queste serie non sono altro che le serie dei termini, rispettivamente, positivi e negativi estratti dalla serie originaria; ovviamente tutti quelli uguali a 0 possono essere rimossi).

Allora

$\sum_{k=0}^n a_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{e} \quad \sum_{k=0}^n b_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} -\infty.$

Infatti, dato che la serie $\sum u_n$ converge e che

$\begin{align} u_n&=a_n+b_n \qquad\forall n \in \N,\\ |u_n|&=a_n-b_n \qquad\forall n \in \N, \end{align}$

allora le serie $\sum a_n$ e $\sum b_n$ o sono entrambe convergenti o entrambe divergenti. Ma se le due serie convergessero, allora anche $\sum (a_n-b_n)=\sum |u_n|$ dovrebbe convergere, il che è assurdo. Inoltre, poiché per ogni $n \in \N$ $a_n \geq 0$ e $b_n \leq 0$, allora le due serie associate a tali successioni devono convergere rispettivamente a $+\infty$ e $-\infty$.

Dimostrazione del teorema

Per semplicità si supponga che $\ell\in \R$, il caso $\ell=\pm \infty$ è analogo.

Costruzione della permutazione

Una possibile costruzione della permutazione σ di $\N$ procede nel modo seguente: si sommano i termini non negativi fino ad oltrepassare il valore $\ell$ e in seguito si aggiungano i termini strettamente negativi fino a quando la somma parziale diventa strettamente inferiore ad $\ell$ (questo procedimento è sempre possibile grazie al lemma. Si itera quindi la procedura, sommando i termini positivi a partire da dove ci si è fermati, in seguito i termini negativi, e via discorrendo. La permutazione σ si definisce quindi come la permutazione associata all'ordinamento dei termini utilizzato in tale procedura.

Convergenza

Dato che la serie $\sum u_n$ è convergente allora per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N_0\in \N$ tale che

$|u_n|<\varepsilon\qquad \forall n\geq N_0.$

Di conseguenza, prendendo $N_1=1+\max\{\sigma^{-1}(0),\sigma^{-1}(1),\ldots,\sigma^{-1}(N_0)\}$, si ha che

$|u_{\sigma(n)}|<\varepsilon \qquad \forall n\geq N_1$

(infatti certamente σ(n) > N₀). Sia ora $N_2$ il più piccolo intero maggiore di $N_1$ tale che $u_{\sigma(N_2)}$ e $u_{\sigma(N_2+1)}$ siano di segno opposto. Per come è stata costruita la permutazione σ , si ha che

$\left|\ell-\sum_{k=0}^{N_2} u_{\sigma(k)} \right| \leq | u_{\sigma(N_2)}|\leq \varepsilon.$

Sia definisca ora, per $n \geq 2$, la proposizione

$\mathcal{P}(n): \left|\ell-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$

È chiaro che $\mathcal{P}(N_2)$ è verificata. Si supponga ora che sia vera per $n \geq N_2$. Distinguiamo a questo punto i due casi che seguono.

Primo caso

Se

$0<\ell-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq \varepsilon;$

allora

$0 \leq u_{\sigma(n+1)} \leq \varepsilon$

e dunque

$\left|\ell-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$

Secondo caso

Se

$-\varepsilon \leq \ell-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq 0;$

allora

$-\varepsilon \leq u_{\sigma(n+1)} < 0$

perciò

$\left|\ell-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$

Per il principio di induzione, risulta dimostrato che

$\forall \varepsilon>0,\ \exists N_2 \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N_2 \Longrightarrow \left|\ell-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon;$

e dunque la serie converge ad $\ell$.

Esempio

Si prenda in esame la serie armonica a segni alterni, denotando con $\,u_n$ il suo termine n-esimo,

$\forall n \in \N^*,\ u_n:=\frac{(-1)^{n+1}}{n}.$

La serie $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ converge per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente in quanto la serie armonica diverge positivamente.

È noto che:

$\sum_{k=1}^{+\infty} u_k =1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots=\log(2).$

(si veda la dimostrazione fatta nella voce serie armonica a segni alterni ).

Riordinando la successione nel modo seguente,

$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8}\ +\ \frac{1}{5} - \frac{1}{10} -\frac1{12} + \cdots,$

ossia scomponendo la serie in blocchi da tre della forma:

$\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{4k}.$

Sommando i primi due termini si ha

$\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} = \frac{1}{2(2k - 1)},$

pertanto la successione delle somme parziali può essere riscritta come:

$=\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10} -\frac1{12} \cdots$

che raccogliendo il fattore 1/2 non è altro che

$\frac12\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac15 - \frac16 +\ldots\right)=\frac12 \log 2,$

ossia la metà del valore della serie armonica a segni alterni.

Enunciato più generale

Si dimostra che il teorema può essere enunciato, in modo più potente, nella seguente forma:

Sia $\left\{u_n\right\}_{n \in \N}$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

$\sum_{k=0}^n u_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \R,$

ma non assolutamente convergente,

$\sum_{k=0}^n |u_k| \underset{n \longrightarrow +\infty}{\longrightarrow} + \infty.$

Siano inoltre $\alpha, \beta \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}$ con $\alpha \leq \beta$. Allora esiste una permutazione

$\sigma:\N\longrightarrow\N$

tale che

$\liminf_{n \to \infty}{\sum_{k=0}^n u_{\sigma(n)}} = \alpha$

$\limsup_{n \to \infty}{\sum_{k=0}^n u_{\sigma(n)}} = \beta$.

Data la definizione di limiti inferiore e superiore, questo enunciato si riduce al precedente nel caso si scelga α = β.

Voci correlate

• Serie
• Criteri di convergenza

Note

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