Serie di Dirichlet

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In matematica, una serie di Dirichlet è una qualunque serie della forma

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},

dove s e i coefficienti an sono numeri complessi.

La serie di Dirichlet riveste un ruolo importante in teoria dei numeri analitica. La funzione zeta di Riemann può essere scritta come serie di Dirichlet nel semipiano Re(s) > 1, così come le funzioni L di Dirichlet. Le serie di Dirichlet prendono il nome dal matematico tedesco Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Le più nota fra le serie di Dirichlet è

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},

che è la funzione zeta di Riemann. Un'altra è:

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

dove μ(n) è la funzione di Möbius. Questa e molte altre delle serie seguenti possono essere ricavate applicando la formula di inversione di Möbius e la convoluzione di Dirichlet alle serie note. Ad esempio, dato un carattere di Dirichlet \scriptstyle\chi(n) si ha

\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}

dove L(\chi,s) è una funzione L di Dirichlet.

Altre identità includono

\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{\varphi(n)}{n^s}

dove φ(n) è la funzione di Eulero, e

\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}
\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}

dove σa(n) è la funzione divisore. Altre identità che coinvolgono la funzione divisore d0 sono

 \frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^2)}{n^s}
 \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)^2}{n^s}.

Il logaritmo della funzione zeta è dato da

\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

per Re(s) > 1. Qui, \scriptstyle \Lambda(n) è la funzione di von Mangoldt. Quindi la derivata logaritmica è

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

Queste ultime due sono casi particolari di una relazione più generale per le derivate della serie di Dirichlet, riportata di seguito.

Sia \scriptstyle\lambda(n) la funzione di Liouville, si ha

\frac {\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.

Un ulteriore esempio coinvolge la somma di Ramanujan:

\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}.

Proprietà di base[modifica | modifica sorgente]

Ponendo  s = \sigma + it con  \sigma, t\in\R una serie di Dirichlet si può decomporre come

\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s} = \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n \cos(t \cdot \log(n))}{n^\sigma}-i\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n \operatorname{sen}(t \cdot \log(n))}{n^\sigma}.

In particolare, se i coefficienti a_n sono reali, tale formula divide la serie di Dirichlet nella sua parte reale e immaginaria.

Proprietà analitiche della serie di Dirichlet: ascissa di convergenza[modifica | modifica sorgente]

Data una sequenza {an}nN di numeri complessi si consideri il valore di

 f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}

come funzione della variabile complessa s. Per far sì che ciò abbia senso, è necessario considerare le proprietà di convergenza della serie infinita di cui sopra:

Se {an}nN è una sequenza limitata di numeri complessi, allora la serie di Dirichlet corrispondente f converge assolutamente sul semipiano aperto di s tale che Re(s) > 1. In generale, se an = O(nk), la serie converge assolutamente nel semipiano Re(s) > k + 1.

Se il set di somme an + an + 1 + ... + an + k è limitato per n e k ≥ 0, allora la serie infinita di cui sopra converge nel semipiano aperto di s tanele che Re(s) > 0.

In entrambi i casi f è una funzione analitica sul rispettivo semipiano aperto.

In generale, l'ascissa di convergenza di una serie di Dirichlet è l'intercetta sull'asse reale della linea verticale sul piano complesso, tale da avere convergenza a destra di essa, e divergenza alla sua sinistra. Questo concetto è analogo a quello di raggio di convergenza per le serie di potenze. Il caso della serie di Dirichlet è tuttavia più complicato, sebbene convergenza assoluta e convergenza uniforme possono verificarsi nei distinti semipiani.

In molti casi, la funzione analitica associata ad una serie di Dirichlet ha un'estensione analitica su un dominio più ampio.

Derivate[modifica | modifica sorgente]

Dato

F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

per una funzione moltiplicativa ƒ(n), e assumendo che la serie converga per Re(s) > σ0, allora si ha che

\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}

converge per Re(s) > σ0. Qui, \scriptstyle\Lambda(n) è la funzione di von Mangoldt.

Prodotti[modifica | modifica sorgente]

Si supponga

 F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s}

e

 G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s}.

Se sia F(s) che G(s) sono assolutamente convergenti per s > a e s > b allora si ha

 \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b} \text{ per }T \sim \infty.

Se a = b e ƒ(n) = g(n) si ha

 \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a} \text{ per } T \sim \infty.

Trasformate integrali[modifica | modifica sorgente]

La trasformata di Mellin di una serie di Dirichlet è data dalla formula di Perron.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
  • G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]