Serie di Grandi

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La somma infinita 1 − 1 + 1 − 1 + ..., chiamata anche serie di Grandi, scoperta da Guido Grandi nel 1703, è una serie simile alla serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · e alla serie 1 + 1 + 1 + 1 + · · · (o serie sommativa unitaria).

Essa si può rappresentare con la formula:


\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n

La serie di Grandi è irregolare, nel senso che la successione delle sue somme parziali non possiede limite; in un senso esteso però si può dire che la sua somma di Cesàro è 1/2. Infatti, tale serie può essere riscritta sia come:


(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ...

dove l'evidente risultato della sommatoria è 0, sia come:


1 - (1 - 1) - (1 - 1) - ...

dove il risultato della sommatoria è evidentemente 1. Esiste però un terzo modo per scrivere la serie:


S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - S

da cui risulta evidente che:


S = \frac{1}{2}

Guido Grandi, nel suo libro Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita, ottenne il terzo risultato a partire da una variante della serie geometrica, utilizzando lo sviluppo binomiale


\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + ...

con x = 1. [1]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series. Dover, 1922. ISBN 0-486-66165-2
  • Harry Davis, Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover, 1989. ISBN 0-486-65973-9
  • Keith Devlin, Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library, 1994. ISBN 0-7167-6022-3
  • Morris Kline, Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983),

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ http://www.jstor.org/discover/10.2307/2690371?uid=3738296&uid=2&uid=4&sid=21103390632603
matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica