1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

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La somma di tutti i numeri naturali, anche scritta 1 + 2 + 3 + 4 + ... o mediante il simbolo di sommatoria come

\sum_{n=1}^{\infin} n

è una serie divergente; la somma dei primi n termini della serie può essere trovata con la formula \frac{n(n+1)}{2}.

Benché a prima vista questa serie non sembri avere grande importanza, essa può essere utilizzata per ottenere un certo numero di risultati matematicamente interessanti, tali da permettere applicazioni in altri campi quali l'analisi complessa, la teoria quantistica dei campi e la teoria delle stringhe.

Somme parziali[modifica | modifica wikitesto]

La formula si verifica per induzione su n.

  • Base dell'induzione: dobbiamo dimostrare che l'affermazione P(n) è vera per n=0, cioè, sostituendo, che 0=\frac{0\cdot 1}2, e in effetti c'è ben poco da lavorare, si tratta di un calcolo elementare;
  • Passo induttivo: dobbiamo mostrare che per ogni n vale l'implicazione P(n)\Rightarrow P(n+1), cioè, sostituendo:
0+1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \quad \Rightarrow \quad 0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}

Dunque dobbiamo assumere che sia vero

P(n) \quad \equiv \quad 0+1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2},

lavorare su questa uguaglianza e concludere con l'analoga uguaglianza per n+1, vale a dire:

P(n+1) \quad \equiv \quad 0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}.

Potremmo ad esempio aggiungere n+1 a entrambi i membri dell'uguaglianza P(n):

0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1),

poi facciamo qualche semplice passaggio algebrico:

0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}2,
0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2},
0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}

e quest'ultima uguaglianza è esattamente P(n+1). Questo conclude la dimostrazione del passo induttivo. Quanto fatto è una verifica e non una dimostrazione in quanto contiene direttamente il risultato, e non mostra invece il processo di ragionamento che ha portato, per via di intuizione, procedimento costruttivo o altro, alla formula chiusa risultato.

La dimostrazione di tale risultato invece può essere effettuata, seguendo il giovane Gauss che per primo la realizzò all'età di dieci anni, riscrivendo la somma in modo riflesso e sommando i termini di uguale posto, ovvero: 1+2+3+4+...+100=x, 100+99+98+97+...+1=x. Sommando per colonne si ottiene: 101+101+101+101+...+101=2x, ovvero 101*100=2x, e quindi (101*100)/2=x.

Generalizzando con n=100 si ottiene n(n+1)/2. QED.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

La somma dei numeri 1 + 2 + ... + 99 + 100 è:

\sum_{m=1}^{100} m = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{10100}{2} = 5050

Somma dei numeri naturali utilizzando metodi euristici[modifica | modifica wikitesto]

Srinivasa Ramanujan scrisse nel capitolo 8 del suo taccuino[1] che la somma dei numeri naturali 1+2+3+4...=-1/12. Questa conclusione arrivò dopo che ebbe notato che si poteva trasformarela serie 1+2+3+4...in 1 − 2 + 3 − 4 + · · · sottraendo 4 al secondo termine, 8 al quarto, 12 al sesto e così via. il totale sottratto era quindi 4+8+12+16..., ovvero quattro volte la serie originale, quindi, chiamando la serie c

c=1+2+3+4...

4c=4+8+12+16...

-3c=c-4c=(1+2+3+4...)-(4+8+12+16)=1-2+3-4...

Quest'ultima serie s=1 − 2 + 3 − 4 + · · · era già stata calcolata come uguale a 1/4 poiché:

 \begin{array}{rclllll} 4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & +(1-2+3-4+\cdots) & +(1-2+3-4+\cdots) &+(1-2+3-4+\cdots) \\ &=& &(1-2+3-4+\cdots) & +1+(-2+3-4+5+\cdots) & +1+(-2+3-4+5+\cdots) &-1+(3-4+5-6\cdots) \\ &=&1+[&(1-2-2+3) & +(-2+3+3-4) & +(3-4-4+5) &+(-4+5+5-6)+\cdots] \\ &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\ 4s&=&1 \end{array}

quindi

-3c=1/4

c=-1/12

Ramanujan scrive una seconda volta a proposito di questa serie in una lettera indirizzata a Godfrey Harold Hardy e datata 27 Febbraio 1913.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Ramanujan's notebooks, retrived January 26th.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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