1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

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La somma di tutti i numeri naturali, anche scritta 1 + 2 + 3 + 4 + ... o mediante il simbolo di sommatoria come

\sum_{n=1}^{\infin} n

è una serie divergente; la somma dei primi n termini della serie può essere trovata con la formula \frac{n(n+1)}{2}.

Benché a prima vista questa serie non sembri avere grande importanza, essa può essere utilizzata per ottenere un certo numero di risultati matematicamente interessanti, tali da permettere applicazioni in altri campi quali l'analisi complessa, la teoria quantistica dei campi e la teoria delle stringhe.

Verifica[modifica | modifica wikitesto]

La formula si verifica per induzione su n.

  • Base dell'induzione: dobbiamo dimostrare che l'affermazione P(n) è vera per n=0, cioè, sostituendo, che 0=\frac{0\cdot 1}2, e in effetti c'è ben poco da lavorare, si tratta di un calcolo elementare;
  • Passo induttivo: dobbiamo mostrare che per ogni n vale l'implicazione P(n)\Rightarrow P(n+1), cioè, sostituendo:
0+1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \quad \Rightarrow \quad 0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}

Dunque dobbiamo assumere che sia vero

P(n) \quad \equiv \quad 0+1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2},

lavorare su questa uguaglianza e concludere con l'analoga uguaglianza per n+1, vale a dire:

P(n+1) \quad \equiv \quad 0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}.

Potremmo ad esempio aggiungere n+1 a entrambi i membri dell'uguaglianza P(n):

0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1),

poi facciamo qualche semplice passaggio algebrico:

0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}2,
0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2},
0+1+2+3+4+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}

e quest'ultima uguaglianza è esattamente P(n+1). Questo conclude la dimostrazione del passo induttivo. Quanto fatto è una verifica e non una dimostrazione in quanto contiene direttamente il risultato, e non mostra invece il processo di ragionamento che ha portato, per via di intuizione, procedimento costruttivo o altro, alla formula chiusa risultato.

La dimostrazione di tale risultato invece può essere effettuata, seguendo il giovane Gauss che per primo la realizzò all'età di dieci anni, riscrivendo la somma in modo riflesso e sommando i termini di uguale posto, ovvero: 1+2+3+4+...+100=x, 100+99+98+97+...+1=x. Sommando per colonne si ottiene: 101+101+101+101+...+101=2x, ovvero 101*100=2x, e quindi (101*100)/2=x.

Generalizzando con n=100 si ottiene n(n+1)/2. QED.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

La somma dei numeri 1 + 2 + ... + 99 + 100 è:

\sum_{m=1}^{100} m = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{10100}{2} = 5050

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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