Sofisma algebrico

In matematica, un sofisma algebrico è una dimostrazione o un ragionamento matematico contenente un errore, che porta quindi ad un risultato errato o contraddittorio. Usualmente questi sofismi sono utilizzati a scopo didattico, per dimostrare l'importanza del rigore nelle dimostrazioni matematiche; per questo motivo, gli errori presentati sono in generale molto sottili e difficili da rilevare (relativamente al pubblico cui sono destinati), ma portano a conclusioni evidentemente erronee. La storia della matematica registra comunque numerosi casi di ragionamenti erronei dovuti a matematici importanti.

Di seguito vengono riportati alcuni esempi classici di sofismi algebrici, suddivisi in base alla tipologia dell'errore che viene introdotto.

Divisione o moltiplicazione per zero

Per approfondire, vedi la voce Divisione per zero.

Data una equazione o una uguaglianza, è possibile ottenerne un'altra equivalente moltiplicando o dividendo entrambi i suoi membri per lo stesso valore reale, che però non può valere zero. L'errata applicazione di questa regola conduce a risultati errati, come nell'esempio seguente. Siano $a$ e $b$ due numeri reali non nulli uguali fra loro:

$a = b\,$.

Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza per $a$ e sottraendo $b^2$ si ottiene:

$\begin{matrix} a^2 & = & ab \\ a^2 - b^2 & = & ab - b^2. \end{matrix}$

Scomponendo entrambi i membri dell'equazione si ottiene un fattore comune $(a - b)$:

$(a + b)(a - b) = b(a - b)\,$.

Dividendo per $(a - b)$ si ottiene:

$a + b = b\,$.

Avendo posto come condizione iniziale $a = b$ possiamo eseguire la sostituzione:

$a + a = 2a = a\,$,

da cui, ponendo $a = 1$, si ha la conclusione errata $1 = 2$. Il passaggio errato consiste nella divisione per $(a - b)$, che vale 0, dato che era stato supposto $a = b$.

Applicazione di regole al di fuori del limiti di validità

Un altro errore diffuso è l'applicazione di teoremi e proprietà al di fuori del loro limiti di validità, come nell'esempio sotto:

$\frac{-1}{1} = \frac{1}{-1} \Rightarrow \sqrt{\frac{-1}{1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}} \Rightarrow \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}.$

L'ultimo passaggio riportato è errato in quanto il passaggio della radice su ogni elemento della frazione $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ è valido solamente se $a$ e $b$ sono numeri positivi. A partire da qui, utilizzando i numeri complessi si ottiene:

$\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} \Rightarrow \frac{i}{1} = \frac{1}{i}$.

Moltiplicando per l'unità immaginaria $i$ si ha infine:

$\frac{i^2}{1} = \frac{1i}{i} \Rightarrow -1 = 1$.

Serie infinite

Le serie rappresentano somme di infiniti termini; l'applicazione ad esse di proprietà caratteristiche delle somme finite può condurre a risultati erronei. Ad esempio la serie di Grandi.

$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k = 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$

può essere rappresentata come

$(1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0 + 0 + \ldots = 0\,$

oppure

$1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \ldots = 1 + 0 + 0 + \ldots = 1\,$.

Da cui segue $0 = 1$. L'errore consiste in questo caso nell'utilizzo della proprietà associativa, che vale solamente se la serie senza parentesi è convergente.

In passato, errori analoghi furono commessi anche da matematici famosi, come Guido Grandi, che diede addirittura un aspetto filosofico al risultato precedente, sostenendo che fosse il modo con cui Dio creò il mondo dal nulla. Lo stesso Grandi ottenne anche un terzo risultato errato nel calcolo della serie: partendo dalla nota formula per la serie geometrica:

$\sum_{k=0}^\infty x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \frac{1}{1-x}$,

valida solo quando $|x| < 1$, Grandi estrapolò per $x = -1$ il risultato

$1 -1 + 1 - 1 + \ldots = \frac{1}{2}$.

Eulero commise un analogo errore ponendo $x = 2$ e ottenendo

$-1 = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots\,$,

ovvero una successione di numeri positivi la cui somma è negativa.

Osserviamo tuttavia che tramite la somma di Cesàro è possibile dare significato al caso $x = -1$.

Voci correlate

• Sofisma
• Dimostrazione matematica
• 2+2=5

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