Frazione (matematica)

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Una torta divisa in quattro quarti, di cui una mancante. Ogni quarto è espresso numericamente come 14.

Una frazione (dal latino fractus, spezzato, infranto), secondo la definizione classica propria dell'aritmetica, è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione. Ad esempio, se si taglia una torta in quattro fette uguali, ciascuna di esse è detta un quarto di torta (rappresentata con 14); due quarti è mezza torta, e otto quarti formano due torte.
In termini più generali, si indica con il nome di frazione ogni generico membro dell'insieme dei numeri razionali.

Storia delle frazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi storia della frazione.

Le origini della frazione si devono all'intersecarsi dei rapporti commerciali fra le più antiche civiltà che necessariamente portarono all'uso dei sottomultipli delle unità di misura allora usate. Documenti storici attestano l'uso delle frazioni presso gli antichi Egizi nel XVII secolo a.C.

Definizione e nomenclatura[modifica | modifica wikitesto]

Una frazione è un oggetto matematico che indica un quoziente di due numeri interi. I due numeri interi vengono separati da un trattino, detto linea di frazione, che può essere orizzontale, come in questi esempi:

 \frac 12,\ \frac {7}2,\ \frac {16}4

oppure diagonale

Nell'esempio delle fette di torta di cui sopra, nella rappresentazione numerica come 14 il numero in basso, detto denominatore, indica il numero totale di parti uguali che compone la torta intera, e il numero in alto, il numeratore, è il numero di parti che è stato preso. I due termini hanno un'origine dal latino. Numeratore ha la stessa radice di enumerare, vale a dire "contare"; quindi indica quante parti frazionali per così dire "minimali" abbiamo nella frazione. Denominatore deriva ovviamente da denominare, cioè dare un nome; il nome è quello del tipo di parti che sono state fatte (metà, terzi, quarti...).

Il denominatore deve essere sempre diverso da zero: non è infatti possibile effettuare una divisione per zero.

Tipi particolari di frazioni[modifica | modifica wikitesto]

Una frazione può essere:

  • ridotta ai minimi termini – o irriducibile – se il numeratore e il denominatore sono numeri primi fra loro (cioè il loro M.C.D. è 1);
  • propria se il numeratore è minore del denominatore;
  • impropria se il numeratore è maggiore del denominatore;
  • apparente se il numeratore è multiplo del denominatore o uguale ad esso;
  • unitaria se ha numeratore 1;
  • decimale se il denominatore è una potenza di 10. Le frazioni decimali rappresentano tutti i numeri esprimibili con una quantità finita di cifre in base dieci.
  • diadica se il denominatore è una potenza di due.

Inoltre una frazione egizia è la scrittura di un numero razionale come somma di frazioni unitarie.

Altri tipi di frazioni[modifica | modifica wikitesto]

Il termine "frazione" è usato per descrivere anche altri oggetti matematici. Nelle scuole si può ad esempio sentire parlare di

  • frazione mista: una frazione scritta come un intero più una frazione propria.

Previsione del tipo di numero decimale generato da una frazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia data una frazione ai minimi termini \frac{a}b (cioè con a e b numeri interi senza divisori comuni).

Allora, se il denominatore b ha solo 2 o 5 come divisori primi, la divisione \frac{a}b corrisponde a un numero decimale finito.

Altrimenti, se b ha qualche divisore primo diverso da 2 o 5, \frac{a}b corrisponde a un numero decimale periodico.

Esempio. La frazione \frac{3}{25} ha come denominatore 25=5^2, che ha come divisore primo solo 5. Quindi \frac{3}{25} corrisponde a un decimale finito.

Invece \frac{33}{14} ha come denominatore 14=2 \cdot 7, che ha come divisore primo, oltre a 2, anche 7 (e 7 non compare nella scomposizione del numeratore 33). Quindi \frac{33}{14} corrisponde a un decimale periodico.

Confronto[modifica | modifica wikitesto]

Confronto tra frazioni

Si possono confrontare tra di loro numeri razionali sia nella loro forma di frazione sia nella forma di numero decimale.

Frazioni con lo stesso denominatore. Essendo parti uguali della medesima suddivisione di un intero è maggiore la frazione che ha il numeratore maggiore (più parti uguali prese in considerazione).

Frazioni con lo stesso numeratore. Essendo prese in considerazione, in questo caso, le medesime parti uguali, suddivisione di un intero, sarà maggiore la frazione che ha il denominatore minore (a parità di parti sicuramente risultano parti maggiori se la divisione è stata fatta in minor parti uguali).

Frazioni con numeratore e denominatore diversi. Un confronto tra due frazioni potrà essere immediato se si confronta una frazione propria (minori di 1) e una impropria (maggiori di 1).

Negli altri casi e dovendo confrontare più frazioni, si conviene ridurle tutte al medesimo denominatore, fare cioè riferimento alle medesime parti uguali: dovendo confrontare a/b e c/d, si convertono le frazioni in ad/bd e bc/bd, dove il comune denominatore bd è il prodotto dei denominatori da confrontare; si confrontano poi i numeratori tra loro: gli interi ad e bc.

Per lavorare con numeri più piccoli, può essere utile usare, invece del prodotto dei denominatori, il minimo comune multiplo dei denominatori (m.c.m.) e trasformare adeguatamente le frazioni (il m.c.m. diviene denominatore della nuova frazione, mentre il numeratore viene calcolato moltiplicando il vecchio numeratore per il quoziente della divisione del m.c.m. per il vecchio denominatore). A questo punto il confronto è ricondotto al caso di frazioni con lo stesso denominatore.

Moltiplicazione e divisione[modifica | modifica wikitesto]

Due quarti sono equivalenti ad una metà (12) della torta, cioè 2 x 14 = 12.

Le operazioni più semplici da compiere con le frazioni sono la moltiplicazione e la divisione. Ecco come vengono effettuate tali operazioni.

Tornando all'esempio della torta, se abbiamo tre persone che ottengono ciascuna un quarto della torta finiamo col distribuirne tre quarti. Numericamente, possiamo scrivere:

3 \times {1 \over 4} = {3 \over 4}

Facendo un altro esempio, supponiamo che cinque persone lavorino tre ore al giorno su un progetto, e la loro giornata lavorativa sia di sette ore. In totale, avranno lavorato per 15 ore, cioè 15 settimi di giorno. Dato che 7 settimi di giorno sono un giorno intero, in totale avranno lavorato per 2 giorni e un settimo: numericamente,

5 \times {3 \over 7} = {15 \over 7} = 2+{1 \over 7}

Riprendendo la nostra torta, se ne abbiamo preso un quarto e di questa vogliamo prenderne un terzo, ne otterremo un dodicesimo. Infatti facciamo tre parti uguali della nostra fetta e ne prendiamo una: ma se avessimo diviso in tre parti tutte e quattro le fette iniziali saremmo arrivati a quattro volte tre fette, cioè 12 fette. In altre parole, un terzo di un quarto (o "un terzo di volte un quarto") è un dodicesimo. Numericamente abbiamo:

{1 \over 3} \times {1 \over 4} = {1 \over 12}

Come secondo esempio, supponiamo che i nostri cinque tizi abbiano fatto un lavoro che in totale equivale a tre ore di una giornata lavorativa di sette ore. Ciascuno di loro - ammesso che abbiano lavorato con la stessa lena! - ha fatto un quinto del totale, quindi hanno lavorato per un quinto di tre settimi di una giornata. Numericamente,

{1 \over 5} \times {3 \over 7} = {3 \over 35}

In pratica, si può notare come per moltiplicare due frazioni possiamo semplicemente moltiplicare i due numeratori tra loro, e i due denominatori tra loro, e usare i risultati come rispettivamente numeratore e denominatore del prodotto. Ad esempio:

{5 \over 6} \times {7 \over 8} = {5 \times 7 \over 6 \times 8} = {35 \over 48}

o algebricamente

{a \over b} \times {c \over d} = {ac \over bd}

È possibile che il numeratore di una frazione e il denominatore dell'altra abbiano un fattore comune: in questo caso è possibile (prima o dopo avere eseguito i due prodotti) semplificare il risultato, dividendo entrambi i valori per il loro massimo comune divisore e riducendo così la frazione "ai minimi termini". Ad esempio,

{5 \over 6} \times {9 \over 20} = {1 \over 6} \times {9 \over 4} = {1 \over 2} \times {3 \over 4} = {3 \over 8}

Se una o entrambe le frazioni da moltiplicare sono improprie, è più agevole convertire la frazione impropria in una propria. Per esempio:

3 \times (2 + {3 \over 4}) = 3 \times \left ({{8 \over 4} + {3 \over 4}} \right ) = 3 \times {11 \over 4} = {33 \over 4} = 8 + {1 \over 4}

Il sistema più semplice di dividere due frazioni tra di loro è moltiplicare la prima frazione per l'inverso della seconda. Ecco un esempio:

{5\over 6} : {20\over 3}= {5 \over 6} \times {3 \over 20 }  = {1\over 2} \times{1\over 4  } = {1\over 8}

Addizione e sottrazione[modifica | modifica wikitesto]

La regola per l'addizione (o per la sottrazione) di due frazioni è più complicata; anche qua può essere utile tornare all'esempio della torta per ricavare la regola generale. Se due torte uguali sono tagliate rispettivamente in quattro e cinque parti e io prendo una fetta di ciascuna, quanta parte di torta ho? Immaginiamo di dividere ciascuna fetta della prima torta in altre cinque parti uguali, e ciascuna fetta della seconda torta in quattro parti uguali. A questo punto ho diviso entrambe le torte in 5 \times 4 = 20 parti; di queste ne ho cinque dalla prima torta e quattro dalla seconda, per un totale di nove fettine. Numericamente,

{1 \over 4} + {1 \over 5} = {{5 + 4} \over {5 \times 4}} = { 9 \over 20}.

La formula generale per sommare due frazioni è data da

{a \over b} + {c \over d} = {{ad + bc} \over {bd}};

Se il massimo comun divisore M tra b e d è maggiore di 1, è possibile semplificare l'operazione. Posto b' = {b \over M} e d' = {d \over M}, abbiamo infatti che

{a \over b} + {c \over d} = {{ad' + b'c} \over {Mb'd'}};

Si noti che il denominatore Mb'd' è il minimo comune multiplo dei denominatori b e d. Un esempio numerico è

{4 \over 15} + {5 \over 6} = {{8 + 25} \over 30} = { 33 \over 30}.

Commutatività[modifica | modifica wikitesto]

È importante ricordare che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa, il che significa semplicemente che l'ordine dei fattori non conta, e tre volte un quarto è uguale a un quarto di tre; numericamente:

3 \times {1 \over 4} = {1 \over 4} \times 3 = {3 \over 4}

Frazioni e sistema numerico decimale[modifica | modifica wikitesto]

Ogni numero razionale può essere scritto usando la scrittura decimale.

Un numero decimale non periodico, o con periodo uguale a 0 (es: 3,5 = 3,50), può essere scritto in forma razionale scrivendo al numeratore tutte le cifre che compaiono nel numero, senza la virgola, ed al denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola, o altresì 10n, con n numero di cifre dopo la virgola. La frazione così ottenuta, se non lo è già, può essere semplificata in modo che il numeratore e il denominatore siano due numeri primi tra loro.

Esempio:

3{,}48=\frac{348}{10^2}=\frac{348}{100}=\frac{87}{25}

La traduzione di un numero periodico in frazione può essere invece effettuata nel modo seguente: è necessario mettere al numeratore la differenza fra il numero decimale periodico scritto senza virgola e tutte le cifre che precedono il periodo, e al denominatore si mettono tanti nove quante sono le cifre del periodo, e tanti zeri quante sono le cifre dopo la virgola che precedono il periodo (periodici misti dotati di antiperiodo).

Esempio:

3{,}4\bar3=\frac{343-34}{90}=\frac{309}{90}=\frac{103}{30}

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si ricordi che:

1/9 = 0{,}11111\ldots = 0{,}\overline{1}

per cui:


\begin{align}
1/99 &= 1/9 \cdot 1/11 = 0{,}\overline{1} \cdot 1/11 = 0{,}\overline{11} \cdot 1/11 = 0{,}\overline{11} / 11 = 0{,}\overline{01}\\
1/999 &= 1/9 \cdot 1/111 = 0{,}\overline{1} \cdot 1/111 = 0{,}\overline{111} \cdot 1/111 = 0{,}\overline{111} / 111 = 0{,}\overline{001}
\ldots
\end{align}

Consideriamo per semplicità il seguente numero 1,23456 e cerchiamone la frazione generatrice.

Moltiplichiamolo e dividiamolo per 100, ovvero per 10 elevato al numero di cifre dell'antiperiodo: \frac{123{,}\overline{456}}{100}

Separiamo al numeratore la parte intera da quella decimale: \frac{123 + 0{,}\overline{456}}{100}

Mettiamo in evidenza il periodo della parte decimale: \frac{123 + 456\cdot0{,}\overline{001}}{100}

Sostituiamo al decimale periodico la sua frazione generatrice: \frac{123 + 456\cdot\frac{1}{999}}{100}

Collochiamo ogni termine sotto un'unica linea di frazione: \frac{123 \cdot 999 + 456}{99900}

Scriviamo 999 come 1000 − 1, ovvero 10 elevato al numero di cifre del periodo −1: \frac{123 \cdot (1000-1) + 456}{99900}

Infine separiamo i termini positivi e negativi al numeratore: \frac{123456 - 123}{99900}.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Una frazione continua è un'espressione del tipo

a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + ...}}

con gli ai interi (normalmente positivi, tranne eventualmente per a0).

Una estensione delle frazioni è data dal campo quoziente di un dominio d'integrità.

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