Divisione euclidea

La divisione euclidea - o divisione con resto - è intuitivamente quell'operazione che si fa quando si suddivide un numero a di oggetti in gruppi di b oggetti ciascuno e quindi si conta quanti gruppi sono stati formati e quanti oggetti sono rimasti. Il numero a si chiama dividendo, il numero b è il divisore, il numero di gruppi formati è il quoziente e il numero di oggetti rimamenti il resto.

La possibilità di operare una tale suddivisione per ogni divisore e ogni dividendo diverso dallo zero è stabilita dal seguente

Teorema

Dati due interi a e b con b≠0 esiste un'unica coppia di interi q ed r detti quoziente e resto tali che:

a = b × q + r

0 ≤ r < | b |

dove | b | indica il valore assoluto del divisore.

Questo significa che per ogni dividendo a e divisore b interi esiste solo una coppia di quoziente q e resto r (anch'essi interi) tali che sommando r con il prodotto di b per q si ottenga il dividendo a di partenza. Il resto r può assumere qualsiasi valore positivo (anche zero) strettamente minore di b.

Esempi

• Se a = 7 e b = 3, si ha q = 2 e r = 1 ovvero 7 = 2 × 3 + 1.
• Se a = 7 e b = −3, si ha q = −2 e r = 1, ovvero 7 = (−2) × (−3) + 1.
• Se a = −7 e b = 3, si ha q = −3 e r = 2, ovvero −7 = (−3) × (3) + 2.
• Se a = −7 e b = −3, si ha q = 3 e r = 2, ovvero −7 = 3 × (−3) + 2.

Dimostrazione

Dimostrazione dell'esistenza.

Consideriamo l'insieme:

$S = \{ a-nb \,| \, n \in \Z\, ,\, a-nb \geq 0 \}$

Tale insieme è non vuoto infatti se n = a si ha

$a-nb=a-ab=a(1-b)$

se n = −a si ha

$a-nb=a+ab=a(1+b)$

e poiché b≠0 almeno uno dei due prodotti deve essere positivo.

Per il principio del buon ordinamento esiste un intero positivo r che è il minimo di S, dunque per tale r esisterà un numero intero q tale che

$r=a-qb$

inoltre essendo r il minimo di S si deve avere r < | b |. Infatti se così non fosse avremmo che

$r'=r-|b| \geq 0$

e che

$r'=r-|b|=(a-qb)-|b|=a-\left(q+\frac{|b|}{b}\right)b$

dunque r' sarebbe in S, ma poiché è più piccolo di r, che è il minimo, siamo giunti ad un assurdo.

Dimostrazione dell'unicità

Supponiamo che ci siano due coppie $(q,r)$ e $(q',r')$ tali che:

$a=bq+r, \qquad 0\leq r <|b|$

$a=bq'+r',\qquad 0\leq r' <|b|$

allora si ha

(*) $r-r'=-(q-q')b$

inoltre poiché r e r' sono positivi e minori di | b |:

$r-r'\leq r < |b|$

$r'-r\leq r' < |b|$

quindi da (*) si ricava

$|q-q'|\cdot |b| \leq |r-r'|<|b|$

ovvero

$|q-q'|<1$

e poiché si tratta di un numero intero e positivo:

$|q-q'|=0$

e quindi, da (*) si deduce anche

$r-r'=0$

cioè le coppie sono uguali.

Generalizzazioni

L'idea della divisione con resto può essere estesa in altre strutture algebriche, come l'anello dei polinomi. Viene chiamato anello euclideo un anello in cui vale una versione generale della divisione euclidea.

Voci correlate

• Divisibilità
• Anello euclideo

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