Frazione unitaria

In matematica, una frazione unitaria (¹⁄_n) è una frazione avente numeratore unitario e al denominatore un intero positivo (n), del quale non rappresenta altro che il reciproco; può essere scritta quindi nella notazione più classica $\frac{1}{n}$ (con il numero sotto la linea di frazione) o $n^{-1}$ (con il numero elevato a esponente negativo).

Definizione corretta di Unità Frazionaria

L'unità frazionaria 1/n è una delle n parti in cui è stato diviso un intero.

Operazioni elementari

• Somma algebrica (somma e differenza): $\frac1a \pm \frac1b = \frac{b \pm a}{ab}$
  • sommatoria
•  :$\sum_{i=1}^{n}\frac1{a_i} = \frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{a_1\dots a_n}{a_i}}{a_1\dots a_n}$; ottimizzando con il minimo comune multiplo $\mbox{mcm}(a_1,...,a_n)$ si ha la forma $= \frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{\mbox{mcm}}{a_i}}{\mbox{mcm}}$
  • se $a$ è costante
•  :$\sum_{i=1}^{n} \frac1a = \frac{n}{a}$
• Moltiplicazione: $\frac1a \times \frac1b = \frac1{ab}$
  • produttoria
•  :$\prod_{i=1}^n \frac1{a_i} = \frac1{a_1\dots a_n}$
  • se $a$ è costante
•  : $\prod_{i=1}^n \frac1{a} = \frac1{a^n}$
• Divisione:$\frac1a \div \frac1b = \frac{b}{a}$

Le dimostrazioni possono essere ottenute facilmente attraverso la notazione esponenziale $a^{-1}$.

Serie infinita

La serie infinita di tutte prime n frazioni unitarie è detta serie armonica

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}+...$

e contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, diverge a più infinito ($+ \infty$)

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