Numero decimale periodico

Un numero decimale periodico è un numero razionale espresso come numero reale la cui parte decimale nella notazione si ripete indefinitamente. Ogni numero decimale periodico, essendo una particolare rappresentazione di un numero razionale, può essere rappresentato mediante una frazione.

Descrizione e classificazione

I numeri decimali periodici si dividono in:

• semplici se subito dopo la virgola è presente il periodo 8,5;
• misti se dopo la virgola è presente l'antiperiodo 8,455.

Il numero periodico misto presenta tre elementi:

• la parte intera, composta dalle cifre poste prima della virgola;
• l'antiperiodo, la parte, composta da una o più cifre poste tra la virgola e il periodo.
• il periodo, che è composto da una o più cifre che si ripetono all'infinito dopo la virgola;

Un esempio di numero periodico misto è:

$8{,}43555555555555555\dots$

in cui 8 è la parte intera, 5 il periodo e 43 l'antiperiodo.

Dato che il numero è infinito esistono due convenzioni per scriverlo in forma compatta. Si pone una linea continua sopra le cifre del periodo oppure si racchiudono le cifre che si ripetono tra parentesi tonde. Prendendo l'esempio del numero precedente è possibile scrivere 8,43(5) oppure 8,435.

Il periodo può essere composto da più cifre, per esempio: 8,435353535353... che si rappresenta con 8,435.

Frazione generatrice di un numero decimale periodico

Ogni numero periodico ha la propria frazione generatrice. Per calcolarla occorre:

1. scrivere il numero senza virgola:

   $\lfloor 8{,}\overline 5 \times 10 \rfloor = 85$

2. sottrarre dal numero tutto ciò che precede il periodo:

   $85 - 8 = 77$

3. Dividere il risultato trovato per un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 per ogni eventuale cifra dell'antiperiodo:

   $77 / 9 = 8{,}55555\dots$

Lo stesso procedimento per il numero periodico 8,435 è:

$8{,}43\overline5=(8435-843)/900$

E per il numero periodico 8,435 è:

$8,4\overline{35}=(8435-84)/990$

In maniera analoga si può usare questo procedimento per trasformare i numeri decimali limitati:

$8{,}4 = 8{,}4\overline0 = (840-84)/90$

Tale metodo può essere dimostrato attraverso l'uso della serie geometrica: infatti, dato un numero periodico semplice

$x=0,\overline{a_1\ldots a_n}$

Se A è il numero formato dalla giustapposizione delle cifre $a_1\ldots a_n$, Allora possiamo scrivere x come

$x=\frac{A}{10^n}+\frac{A}{10^{2n}}+\frac{A}{10^{3n}}+\cdots=\sum_{i=1}^\infty\frac{A}{(10^n)^i}=\frac{A}{10^n (1-\frac{1}{10^n})}=\frac{a_1\ldots a_n}{99\ldots 9}$

dove, nell'ultima frazione, il numeratore è una giustapposizione di cifre e al denominatore vi sono n nove.

Per ottenere un qualsiasi numero periodico è sufficiente a questo punto moltiplicare per un'appropriata potenza di 10 e sommare la parte intera e l'antiperiodo.

Numero decimale periodico da una frazione

Esempio di divisione decimale per trovare un numero periodico (43/42)

Per calcolare un numero periodico a partire da una frazione occorre eseguire una divisione decimale tra numeratore e denominatore, che si dovrà interrompere solo quando si otterrà come resto un valore già individuato in una delle divisioni precedenti: a questo punto infatti, calcolando le successive cifre decimali, non si farà altro che ripetere le stesse divisioni eseguite in precedenza fino ad ottenere di nuovo lo stesso resto, e questa sequenza di calcoli si ripeterà all'infinito. Si può quindi terminare la divisione decimale ed individuare le cifre del periodo e dell'antiperiodo in base alla posizione dei resti coincidenti.

Questo algoritmo può essere eseguito da un programma per dividere perfettamente (evitando quindi qualunque errore di approssimazione) due numeri qualsiasi in breve tempo. Un esempio della sua applicazione in Python:

 
def espansione_periodica(num,den):
    s = ''
    if num<0:
        s += '-'
        num = -num
    # aggiungiamo la rappresentazione della parte intera
    s += str(num // den)
    num = num % den
    # mettiamo la virgola se necessario:          
    if num>0:
        s += '.'
    # memorizziamo la sequenza di resti per individuare il periodo
    resti = [0]
    while num not in resti:
        resti.insert(1,num)
        num *= 10
        # aggiungiamo una cifra decimale
        s += str(num // den)
        num %= den
    periodo = resti.index(num)
    if periodo > 0:
        s = s[:-periodo]+'(%s)' % s[-periodo:]
    return s

Numeri periodici semplici e misti

Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se in esso, fra la virgola e il periodo, esiste una cifra o un gruppo di cifre chiamato ANTIPERIODO che non si ripete.

La questione del numero periodico 0,(9)

Per approfondire, vedi 0,999....

Il numero periodico 0.9999... ha lo stesso significato dell'unità.

Per calcolare il numero periodico semplice $0{,}999999999\dots$ rappresentabile con $0{,}\bar9$ occorre, come tutti i numeri periodici:

1. scrivere il periodo $9$
2. scrivere la cifra 9 come dividendo, in quanto il periodo è formato da una sola cifra
3. si ottiene $9/9$ che è uguale a $1$.

Una dimostrazione che l'allineamento decimale $0{,}\bar 9$ rappresenta la stessa quantità indicata dal numero $1$ è la seguente:

$\begin{align} x &=0{,}\bar 9 \\ 10x &= 9{,}\bar 9 \\ 10x-x &=9{,}\bar9 - 0{,}\bar9 \\ 9x &=9\\ x &=1 \end{align}$

Numeri periodici in altre basi

Numeri periodici compaiono anche se, al posto della base 10, consideriamo un'altra base di numerazione per rappresentare i numeri. In generale, in base a, i numeri che diventano periodici sono precisamente quelli che, se rappresentati mediante una frazione i cui termini siano coprimi, hanno un denominatore che contiene fattori primi che non dividono a.

Voci correlate

• Numero

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