Prolungamento analitico

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Il prolungamento analitico, in analisi complessa, una branca della matematica, è una tecnica per estendere il dominio di definizione di una funzione fornita solo in un sottoinsieme del suo dominio. In molti casi si ha un prolungamento analitico definendo ulteriori valori per una funzione, ad esempio in una nuova regione, dove non ha più senso la rappresentazione in termini di serie infinita che inizialmente definiva la funzione. La tecnica di prolungamento, comunque, può incontrare difficoltà: queste possono avere natura essenzialmente topologica e portare a veri e propri casi di inconsistenza (definendo la funzione in più di un modo nello stesso punto) o impedimenti globali. In alternativa, le difficoltà possono avere a che fare con la presenza di singolarità. Il caso di funzioni a più variabili complesse è piuttosto differente, perché allora le singolarità non possono essere isolate: lo studio di questo caso è stato uno dei maggiori motivi che hanno condotto a sviluppare la coomologia dei fasci.

Discussione iniziale[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo che f sia una funzione analitica su un sottoinsieme aperto U del piano complesso C. Se V è un sottoinsieme aperto di C più grande che contiene U, e F è una funzione analitica definita su V tale che

F(z) = f(z) per ogni z in U,

allora F è chiamata prolungamento analitico di f. In altri termini, la restrizione di F ad U è la funzione f da cui siamo partiti.

I prolungamenti analitici sono unici nel seguente senso: se V è connesso e F1 e F2 sono due prolungamenti analitici di f definiti su V, allora

F1 = F2

ovunque. Questo perché la differenza è una funzione analitica che si annulla su un insieme aperto non vuoto, e perciò deve essere identicamente nulla.

Ad esempio, data una Serie di potenze con raggio di convergenza r intorno a un punto a di C, si può considerare i prolungamenti analitici della serie di potenze, cioè funzioni analitiche F definite su insiemi più grandi del disco aperto di raggio r centrato in a, ovvero, in simboli,

{z : |z - a| < r}

e coincidono con la serie di potenze data su quell'insieme. Il numero r è massimale nel seguente senso: esiste sempre un numero complesso 'z'

|z - a| = r

e tale che non possa essere definito alcun prolungamento analitico della serie in z. Dunque, ci sono forti limitazioni al prolungamento analitico ad un disco più grande con lo stesso centro a. D'altronde ci può benissimo essere prolungamento analitico a qualche insieme più grande. Ciò dipende dal raggio di convergenza quando si espande intorno a un punto b distinto da a; se esso è maggiore di

r-|b-a|

allora abbiamo il diritto di usare quella espansione su un disco aperto, che giace parzialmente al di fuori del disco originario. Altrimenti, c'è un confine naturale sulla circonferenza di bordo.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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