Numero ettagonale

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I primi cinque numeri ettagonali

Un numero ettagonale è un numero poligonale che rappresenta un ettagono di n lati. L'n-esimo numero ettagonale può essere calcolato con la formula:

\,{5 n^2 - 3 n \over 2} .

I primi 20 numeri ettagonali sono:

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, 1918, 2059, 2205, 2356, 2512, 2673, 2839, 3010, 3186, 3367, 3553, 3744, 3940, 4141, 4347, 4558, 4774, 4995, 5221, 5452, 5688 (sequenza A000566 dell'OEIS).

La parità dei numeri ettagonali segue il modello dispari-dispari-pari-pari. Come nel caso dei numeri quadrati, la radice digitale in base 10 di un numero ettagonale può essero solo 1, 4, 7 o 9.

Il quintuplo di un numero ettagonale aumentato di 1 è un numero triangolare.

La formula per la somma dei reciproci dei numeri ettagonali è data da


\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(5n-3)} = \frac{1}{15}{\pi}{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}+\frac{2}{3}\ln(5)+\frac{{1}+\sqrt{5}}{3}\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)+\frac{{1}-\sqrt{5}}{3}\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)   
[1]

La funzione generatrice per i numeri ettagonali è

\frac{x(4x+1)}{(1-x)^3}.

Numeri ettagonali generalizzati[modifica | modifica sorgente]

Un numero ettagonale generalizzato è ottenuto dalla formula

T_n + T_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor},

dove Tn è l'n-esimo numero triangolare. I primi numeri ettagonali generalizzati sono:

1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112 (sequenza A085787 dell'OEIS).

Ogni altro numero ettagonale generalizzato è un regolare numero ettagonale. Esclusi 1 e 70, nessun altro numero ettagonale generalizzato è anche un numero di Pell.[2]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers
  2. ^ B. Srinivasa Rao, "Numeri ettagonali nella Sequenza di Pell e equazioni diofantee 2x^2 = y^2(5y - 3)^2 \pm 2" Fib. Quart. 43 3: 194
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