Numero stella octangulare

124 palline magnetiche disposte a formare una stella octangula. 124 è un numero stellato octangulare

In teoria dei numeri, un numero stella octangulare è un numero figurato che rappresenta una stella octangula.

La formula per l'$n$-simo numero stella octangulare è:

$n(2n^{2}-1).$

I primi numeri stella octangulari sono: 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444.

Proprietà matematiche

L'$n$-esimo numero stella octangulare può essere espresso come la somma dell'$n$-esimo numero ottaedrico e di 8 volte l'$(n-1)$-esimo numero tetraedrico.

Gli unici numeri stella octangulari ad essere anche quadrati perfetti sono 1 e 9653449 (3107²), rispettivamente il 1º e il 169º dei numeri di questa forma. Ciò è stato dimostrato considerando che la curva ellittica che descrive i numeri allo stesso tempo stella octangulari e quadrati,

$m^{2}=n(2n^{2}-1),$

può essere posta nell'equivalente forma di Weierstrass

$x^{2}=y^{3}-2y$

sostituendo $2m$ con $x$ e $2n$ con $y$. Dato che $n$ e $2n^{2}-1$, i due fattori di $m^{2}$, sono primi tra loro, devono essere anch'essi quadrati.

Ora, ponendo $X={\frac {m}{\sqrt {n}}}$ e $Y={\sqrt {n}}$, si ha

$X^{2}=2Y^{4}-1.$

Un teorema di Siegel afferma che ogni equazione ellittica ha solo un numero finito di soluzioni intere, e nel 1942 il matematico Wilhelm Ljunggren ha pubblicato una complessa dimostrazione del fatto che le due soluzioni note siano le uniche. Per questo, l'ultima equivalenza è anche nota come equazione di Ljunggren Louis J. Mordell congetturò che tale dimostrazione potesse essere semplificata, come in effetti è poi avvenuto per merito di più matematici..

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero stella octangulare, su MathWorld, Wolfram Research.