Curva ellittica

Dati due punti P e Q di una curva ellittica, P+Q si ottiene eseguendo il processo descritto in figura

In matematica, una curva ellittica è una curva algebrica proiettiva liscia di genere uno, sul quale viene specificato un punto O. Inoltre, ogni curva ellittica possiede una legge di composizione interna (generalmente indicata con il simbolo +) rispetto alla quale essa è un gruppo abeliano con elemento neutro O; di conseguenza, le curve ellittiche sono varietà abeliane.

Ogni curva ellittica può essere scritta come la curva algebrica piana definita da un'equazione della forma:

$y^2 = x^3 + ax + b$

in modo che sia non singolare. Quindi la curva non deve avere cuspidi o auto-intersezioni (quando la caratteristica del campo è 2 o 3 l'equazione non è abbastanza generale da contenere tutte le curve cubiche non singolari; per maggiori informazioni al riguardo, si veda la trattazione sottostante).

Se y² = P(x), e P è un polinomio di grado tre o quattro in x senza radici coincidenti si ottiene una curva piana non singolare di genere uno. Più in generale l'intersezione di due quadriche tridimensionali genera una curva ellittica di genere 1.

Si dimostra che le curve ellittiche corrispondono alle immersioni del toro puntato (cioè sul quale viene scelto un punto speciale O) nel piano proiettivo complesso; tali immersioni si generalizzano a campi arbitrari. La struttura naturale di gruppo di un toro puntato si riflette sulla curva ellittica tramite un isomorfismo, grazie al quale l'insieme dei punti della curva formano un gruppo abeliano.

Curve ellittiche sul campo dei numeri complessi

La formulazione delle curve ellittiche come immersione di un toro nel piano proiettivo complesso segue naturalmente da una curiosa proprietà delle funzioni ellittiche di Weierstrass. Queste funzioni e la loro derivata prima sono legate dalla formula:

$\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3.$

Curve su campi arbitrari

Se la caratteristica di K non è 2 né 3, allora ogni curva ellittica, attraverso opportuni cambi di variabile, può essere scritta nella forma:

$y^2=x^3-px-q\$

dove p e q sono elementi di K tali che il polinomio a secondo membro non abbia radici multiple.

Se la caratteristica è 2 o 3, allora potrebbe non essere possibile eliminare alcuni termini, in quanto le operazioni di cambio di variabile coinvolgono divisioni per 2 e per 3. In caratteristica 3, l'equazione più generica è della forma:

$y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6\$

dove $b_2, b_4, b_6$ sono costanti arbitrarie tali che il polinomio a secondo membro abbia radici distinte (la notazione è stata scelta in base a ragioni storiche). In caratteristica 2, nemmeno questo è possibile, e l'equazione più generica è:

$y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6\$

supposto che la varietà algebrica da essa definita sia non singolare.

Se K non è algebricamente chiuso, per curva ellittica si intende l'insieme dei punti (x,y) che soddisfano l'equazione sopra considerata e tali che sia x che y sono elementi della chiusura algebrica di K. I punti della curva le cui coordinate appartengano entrambe a K sono detti punti K-razionali.

Applicazioni

Le curve ellittiche sono molto importanti nella teoria dei numeri e ne costituiscono uno dei maggiori campi di ricerca attuale. Per esempio furono utilizzate da Andrew Wiles per la risoluzione dell'ultimo teorema di Fermat. Queste curve inoltre hanno molteplici applicazioni in crittografia (vedi le voci sulla crittografia ellittica e sulla fattorizzazione).

Immagini

• 

  curva ellittica y²=x³-x su Z₆₁

• 

  curva ellittica y²=x³-x su Z₈₉

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