Numero tetraedrico

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Piramide di spigolo 5 contenente 35 sfere. Ogni livello rappresenta uno dei primi cinque numeri triangolari.

Un numero tetraedrico, o numero piramidale triangolare, è un numero figurato che rappresenta una piramide con una base triangolare (un tetraedro). L'n-esimo numero tetraedrico è la somma dei primi n numeri triangolari.

I primi numeri tetraedrici sono:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969[1]

La formula per calcolare l'n-esimo numero tetraedrico è

T_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\binom{n+2}{3}

I numeri tetraedrici sono presenti anche nel triangolo di Tartaglia: sono la quarta diagonale da sinistra (o da destra: il triangolo è simmetrico).

Tutti i numeri tetraedrici sono pari, eccetto i Tn per i quali n\equiv 1\mod 4 (vedi aritmetica modulare).

La somma dei reciproci dei numeri tetraedrici è 3/2: il risultato può essere trovato usando le serie telescopiche.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{6}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2}

Inoltre la somma dei primi quattro numeri tetraedrici è il quinto di questi numeri.

La congettura di Pollock asserisce che ogni numero naturale può essere rappresentato come la somma di cinque numeri tetraedrici.

Rapporti con gli altri numeri figurati[modifica | modifica sorgente]

A.J. Meyl dimostrò nel 1878 che esistono solo tre numeri tetraedrici che sono anche quadrati perfetti:

T_1=1^2= 1
T_2=2^2= 4
T_{48}=140^2= 19600

L'unico numero tetraedrico che è anche un numero piramidale quadrato è 1 (dimostrato da Beukers nel 1988); 1 è anche l'unico tetraedrico che è un cubo perfetto.

Esistono solo cinque numeri che sono contemporaneamente tetraedrici e triangolari:

T_1=t_1=1
T_3=t_4=10
T_8=t_{15}=120
T_{20}=t_{55}=1540
T_{34}=t_{119}=7140

(dove Tn rappresenta l'n-esimo numero tetraedrico e tn rappresenta l'n-esimo numero triangolare)

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Sequenza A000292 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

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