Criterio di Leibniz

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In analisi matematica, il criterio di Leibniz (scritto anche Leibnitz) è un criterio di convergenza applicabile a serie a termini di segno alterno. Secondo tale criterio se una successione a termini positivi {ak} è decrescente e infinitesima, allora la serie

s_n=\sum_{k=0}^{n}{(-1)^k a_k}

converge.

Prende il nome dal matematico tedesco Gottfried Leibniz.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia \{a_k\}_{k\in\N_{0}} una successione di numeri reali tale che:

  • esiste un N\in\N_{0} tale che a_N \ge a_{N+1} \ge a_{N+2} \ge \cdots \ge a_{N+n} > 0 per ogni n\in\N_{0}
  • \lim_{k \to +\infty}{a_k} = 0.

Allora[1] è convergente la serie

\sum_{k=0}^{+\infty}{(-1)^{k}a_k}.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Poiché {an} è decrescente, per ogni n si ha che

s_{2n}\geq s_{2n}-a_{2n+1}+a_{2n+2}=s_{2n+2}

da cui segue che

s_0\geq s_2\geq s_4\geq\cdots \geq s_{2n}\geq\cdots

Similmente

s_{2n+1}\leq s_{2n+1}+a_{2n+2}-a_{2n+3}=s_{2n+3}

e quindi

s_1\leq s_3\leq s_5\leq\cdots \leq s_{2n+1}\leq\cdots

Si hanno quindi due successioni: una decrescente formata dai termini pari delle somme parziali e una crescente formata dai termini dispari delle somme parziali. Inoltre s_{2n+1}=s_{2n}-a_{2n+1}\leq s_{2n} e quindi ogni elemento della seconda successione è minore di ogni elemento della prima. Possiamo porre D=\lim_{n\to \infty}s_{2n+1} e P=\lim_{n\to \infty}s_{2n}. Per ogni n si ha

s_{2n+1}\le D\leq P\le s_{2n}

perché se fosse D>P potremmo trovare delle somme parziali di termine pari a una distanza minore di ogni \varepsilon da P e termine dispari distanti da D meno di \varepsilon; per \varepsilon sufficientemente piccolo si avrebbe allora un termine dispari maggiore di uno pari, cosa che abbiamo già dimostrato essere impossibile.

Inoltre la distanza tra P e D diventa più piccola di ogni am; ma tale successione tende a 0, e quindi così fa P-D, ovvero P=D. Poniamo S=P=D. Essendo S il limite delle somme parziali pari, per la definizione di limite per ogni \varepsilon>0 esiste m tale che |S-s_{n}|<\varepsilon per ogni n>m (n pari). Allo stesso modo, essendo S il limite delle somme parziali dispari, esiste k tale che la disuguaglianza vale per ogni n dispari maggiore di k. Quindi prendendo h=\mathrm{max}~(m,k) la disuguaglianza vale per ogni n>h, per ogni n pari e dispari, e si ha quindi

\lim_{n\to\infty} s_n=S

e la serie converge.

Osservazioni sulla dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

  • Dalla dimostrazione, abbiamo che |S - s_n| \le a_{n+1}; il che significa che, approssimando la somma della serie con la somma parziale n-esima, l'errore commesso non supera il termine successivo trascurato (preso in modulo). Ad esempio, si consideri la serie:
 \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^k}{k}};
calcolando la somma dei primi dieci termini, si ottiene
 s_{10} = \sum_{k=1}^{10}{\frac{(-1)^k}{k}} \approx -0,6456,
mentre la somma infinita vale esattamente
 S = \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^k}{k}} = -\ln{2} \approx -0,6931,
e si nota che |s_{10} - S| \approx |-0,6456+0,6931| = 0,0475 < 0,090909... = \frac{1}{11}.
  • Se l'ipotesi che la successione sia non crescente viene sostituita con quella (più debole) di successione asintoticamente non crescente (cioè a_k \ge 0 \ \forall k , \lim_{k \to +\infty}{a_k} = 0 , a_k \sim b_k dove \{b_k\} soddisfa le ipotesi del teorema di Leibniz), il teorema non è più valido.

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di Dirichlet (matematica).

Il criterio di Leibniz può essere visto come corollario del criterio di Dirichlet per le serie.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Rudin, op. cit., pag. 71, che dà una formulazione equivalente del teorema.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Enrico Giusti, Analisi matematica 1, Giusti, Torino 1988, ISBN 8833956849
  • (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X..

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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