Trasformata zeta

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In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice. Viene impiegata in particolare nella teoria dei segnali.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di trasformata zeta era già noto a Laplace, ma fu reintrodotto nel 1947 da W. Hurewicz come mezzo utile a risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti.[1] Il termine "trasformata zeta" fu coniato successivamente, nel 1952, da Ragazzini e Zadeh, ricercatori della Columbia University.[2][3] Il nome potrebbe esser derivato dall'idea che la lettera "z" sia somigliante a una lettera "s" campionata/digitalizzata, ove "s" è la lettera spesso usata per indicare la variabile indipendente nella trasformata di Laplace. Un'altra possibile origine è la presenza della lettera "Z" in entrambi i nomi Ragazzini e Zadeh. Questa nomenclatura diverge dall'usanza adottata in ambito scientifico, in cui si associa un metodo o un teorema col nome del principale sviluppatore. La terza probabile origine risiede nel dominio dei segnali discreti, che è solito essere \mathbb{Z} o un suo sottoinsieme.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Trasformata bilatera[modifica | modifica wikitesto]

La trasformata bilatera di una funzione x(n) è la serie formale di potenze X(z) definita come:

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}

dove n è un numero intero e z è complesso:

z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})

con A il modulo di z, j l'unità immaginaria e \phi la fase in radianti.

Trasformata unilatera[modifica | modifica wikitesto]

Nei casi in cui x(n) è definita soltanto per n \ge 0, la trasformata unilatera è espressa come:

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} =  \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

In teoria dei segnali questa definizione è utilizzata per valutare la trasformata della risposta all'impulso unitario di un sistema causale tempo-discreto.

Regione di convergenza[modifica | modifica wikitesto]

La regione di convergenza è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la trasformata della funzione converge:

ROC = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| < \infty \right\}

La serie converge per valori di z in modulo maggiori del raggio di convergenza R, definito tramite il criterio della radice come:

R = \limsup_{n\to\infty} \left|f(n)\right|^{\frac{1}{n}}

Di applicazione meno generale è il criterio del rapporto, poiché esso richiede che i termini siano diversi da zero a partire da un n arbitrario in poi. Nondimeno, spesso è più agevole calcolare il limite tramite tale criterio piuttosto che utilizzando quello della radice. Nel caso entrambi i limiti esistano, essi coincidono. Non bisogna tuttavia prendere il reciproco del limite superiore, in quanto la trasformata zeta è una serie di potenze con esponente negativo.

Trasformata inversa[modifica | modifica wikitesto]

L'espressione della trasformata inversa, che può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy, è la seguente:

 x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \

dove C è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di X(z) e circonda l'origine del piano. Questa relazione vale sia per n positivi, sia per n negativi.

Un caso di particolare importanza si presenta quando  C è la circonferenza unitaria. In tal caso la trasformata zeta inversa assume la forma della trasformata di Fourier discreta inversa:

 x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi}  X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega. \

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Dominio del tempo Dominio Z Dimostrazione ROC
Notazione x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\} X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\} ROC: r_2<|z|<r_1 \
Linearità a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]\ a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z) \ \begin{array} {lcl} X(z) = & \\
         \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n}\ & \\
         = a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} (x_1(n))z^{-n} + & \\
a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x_2(n))z^{-n} & \\
         = a_1X_1(z) + a_2X_2(z)\end{array} Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Espansione temporale x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[r], & n = rk \\ 0, & n \not= rk \end{cases}

r intero

X(z^k) \ \begin{array} {lcl} X_k(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_k(n)z^{-n} = & \\
= \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rk} = & \\
=\sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{k})^{-r} = & \\
= X(z^{k}) \end{array} r^{1/k}
Traslazione temporale x[n-k] z^{-k}X(z) Z\{x[n-k]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}

Posto j = n - k si ha:
 \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k} = z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j} = z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j}
essendo x[\beta]=0 se \beta<0 . Da cui:
z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j}= z^{-k}X(z)

ROC, eccetto z=0\ se k>0\, e z=\infty se k<0\
Scalatura nel dominio z a^n x[n]\ X(a^{-1}z) \ \begin{array} {lcl} Z \{a^n x[n]\} = & \\
\sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n}& \\
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} & \\
= X(a^{-1}z) & \\
\end{array} |a|r_2<|z|<|a|r_1 \
Inversione temporale x[-n]\ X(z^{-1}) \ \begin{array} {lcl} \mathcal{Z}\{x(-n)\} = & \\ 
\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n}\ & \\
= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\ & \\
= \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\ & \\
= X(z^{-1}) & \\
\end{array} \frac{1}{r_1}<|z|<\frac{1}{r_2} \
Coniugazione complessa x^*[n]\ X^*(z^*) \ \begin{array} {lcl}Z\{x^*(n)\} = & \\ 
\sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\ & \\
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} [x(n)(z^*)^{-n}]^*\ & \\
= [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\ ]^* & \\
= X^*(z^*)& \\
\end{array} ROC
Parte reale \operatorname{Re}\{x[n]\}\ \frac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right] ROC
Parte immaginaria \operatorname{Im}\{x[n]\}\ \frac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right] ROC
Differenziazione nx[n]\  -z \frac{dX(z)}{dz} \begin{array} {lcl}Z\{nx(n)\} = & \\   
\sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\  & \\
= z  \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\ & \\
= -z  \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\ & \\
= -z  \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n})\ & \\
= -z \frac{dX(z)}{dz}& \\
\end{array} ROC
Convoluzione x_1[n] * x_2[n]\ X_1(z)X_2(z) \ \begin{array} {lcl}\mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} = & \\
                                   \mathcal{Z} \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l)\}\ & \\
                                   = \sum_{n=-\infty}^{\infty} [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l)]z^{-n}\ & \\
                                   =\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} ]\ & \\
                                   =[\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l}] [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} ]\ & \\
                                   =X_1(z)X_2(z)& \\
\end{array} Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Cross-correlazione r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n]\ R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(1/z^*)X_2(z)\ Almeno la regione di intersezione di ROC of X_1(1/z^*) e X_2(z)
Prima differenza x[n] - x[n-1] \  (1-z^{-1})X(z) \ Almeno la regione di intersezione di ROC of X1(z) e |z|>0
Accumulazione \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\  \frac{1}{1-z^{-1} }X(z) \begin{array} {lcl}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\cdot z^{-n}\\
        =\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+x[n-1]+\\
x[n-2]\cdots x[-\infty])z^{-n}\\
        =X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\
        =X[z]\sum_{j=0}^{\infty}z^{-j}   \\
        =X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{array}
Moltiplicazione x_1[n]x_2[n]\ \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\frac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v \ -
Teorema di Parseval \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n]\ \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\frac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v \

Teorema del valore iniziale e del valore finale[modifica | modifica wikitesto]

Analogamente alla trasformata di Laplace, anche per la trasformata zeta si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale del campionamento partendo dalla sua trasformata.

Il teorema del valore iniziale afferma che:

x[0]=\lim_{z\rightarrow \infty}X(z) \

se x[n] è causale (ovvero nulla per n negativi).

Il teorema del valore finale afferma che:

x[\infty]=\lim_{z\rightarrow 1}(1-z^{-1})X(z) \

solamente se i poli di X(z) sono all'interno del cerchio di raggio unitario.

Trasformata di alcune funzioni notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Siano:

  • u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}
  • \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}
Funzione, x[n] Trasformata Z, X(z) ROC
\delta[n] \, 1\,  \mbox{ogni }z\,
\delta[n-n_0] \,  z^{-n_0} \,  z \neq 0\,
u[n] \,  \frac{1}{1-z^{-1} } |z| > 1\,
\, e^{-\alpha n} u[n]    1 \over 1-e^{-\alpha  }z^{-1}   |z| >  |e^{-\alpha}| \,
  -u[-n-1] \,  \frac{1}{1 - z^{-1}} |z| < 1\,
 n u[n] \,  \frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2} |z| > 1\,
 - n u[-n-1] \,  \frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }  |z| < 1 \,
n^2 u[n] \,   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} |z| > 1\,
 - n^2 u[-n - 1] \,   \frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3} |z| < 1\,
n^3 u[n] \,  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} |z| > 1\,
- n^3 u[-n -1] \,  \frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4} |z| < 1\,
a^n u[n] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}}  |z| > |a|\,
-a^n u[-n-1] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}} |z| < |a|\,
n a^n u[n] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|\,
-n a^n u[-n-1] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }  |z| < |a|\,
n^2 a^n u[n] \,  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| > |a|\,
- n^2 a^n u[-n -1] \,  \frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3} |z| < |a|\,
\cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
\sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,
a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,

Relazione con la trasformata di Laplace[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi trasformata di Laplace.

La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:

 z \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  e^{s T} \

dove T = 1/f_s \ è il periodo di campionamento, con  f_s la frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o in hertz).

Sia:

 \Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{n=0}^{\infty}  \delta(t - n T)

un treno di impulsi e sia:



\begin{align}
x_q(t) & \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  x(t) \Delta_T(t) = x(t) \sum_{n=0}^{\infty}  \delta(t - n T) \\
& = \sum_{n=0}^{\infty} x(n T) \delta(t - n T) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T)
\end{align}

la rappresentazione tempo-continua del segnale  x[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  x(nT) ottenuto campionando  x(t) . La trasformata di Laplace di  x_q(t) è data da:



\begin{align}
X_q(s) & = \int_{0^-}^\infty x_q(t) e^{-s t} \,dt \\
& = \int_{0^-}^\infty \sum_{n=0}^\infty x[n] \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt \\
& = \sum_{n=0}^\infty x[n] \int_{0^-}^\infty \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt \\
& = \sum_{n=0}^\infty x[n] e^{-n s T}
\end{align}

Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta  x[n] \ , ovvero:

 X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

con la sostituzione  z \leftarrow e^{s T} . Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato:

X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}

Relazione tra il piano s e il piano z[modifica | modifica wikitesto]

Per quanto detto la variabile s può essere riscritta utilizzando la rappresentazione rettangolare come:

z=e^{sT}=e^{T\sigma}e^{jT\omega}=e^{T\sigma}e^{jT(\omega+\frac{2k\pi}{T})} \qquad k \in \R

L'ultima identità deriva dal fatto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo i2π.

Da questa relazione si possono fare alcune considerazioni importanti

  • ogni punto sul piano s la cui parte immaginaria differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento viene trasformato nello stesso punto sul piano z
  • ogni punto sul piano s appartenente al semipiano negativo viene trasformato in un punto interno alla circonferenza di raggio 1 poiché |z|=e^{T\sigma}
  • ogni punto sul piano s appartenente al semipiano positivo viene trasformato in un punto esterno alla circonferenza di raggio unitario
  • ogni punto appartenente all'asse immaginario viene trasformato in un punto sulla circonferenza di raggio unitario

In virtù di queste considerazioni ha senso definire anche una striscia primaria e più strisce complementari nel piano s. La striscia primaria comprende tutti i numeri complessi con parte immaginaria compresa tra \pm j\omega_s /2, le strisce complementari si ottengono, a partire da quella primaria, per traslazione verticale di un multiplo intero della pulsazione di campionamento. Per quanto detto è possibile far corrispondere ogni punto del piano z con un punto della striscia primaria.


Al pari di quanto avviene nel piano s è possibile, anche nel piano z, tracciare dei luoghi a \delta e \omega costante.

Campionamento[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un segnale tempo-continuo x(t), la cui trasformata è:

L\{x(t)\} \equiv X(s) \equiv \int_0^{\infty}{x(t)e^{-st}dt}

Se x(t) è campionato uniformemente con un treno di impulsi in modo da ottenere un segnale discreto x^{*}[k] = x(kT) (supponendo il processo ideale), allora può essere rappresentato come:

x^{*}[k] = x(kT) = \sum_{k=0}^{\infty}{x(t) \delta(t-kT)}

dove T è l'intervallo di campionamento. In tale contesto la trasformata di Laplace è data da:

 \begin{array}{l l l l l l}
L\{x(kT)\} & = & X^{*}(s) & = & \int_0^{\infty}{\sum_{k=0}^{\infty}{x(t).\delta(t-kT)} e^{-st}dt} \\
& = & \sum_{k=0}^{\infty}{x^{*}(k).z^{-k}}, z = e^{sT} \\
\left. L\{x(kT)\}\right|_{s = \frac{\ln{(z)}}{T}} & = & \left.X^{*}(s)\right|_{s = \frac{\ln{(z)}}{T}} & = & Z\{x^{*}(k)\}
\end{array}

Trasformata di Fourier a tempo discreto[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformata di Fourier a tempo discreto.

La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,z^{-n}

che si ottiene ponendo z = e^{i \omega}\,. Dal momento che |e^{i \omega}| = 1\,, la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso.

Modello autoregressivo a media mobile[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Modello autoregressivo a media mobile.

Un sistema basato sul modello autoregressivo a media mobile è rappresentato dall'equazione:

\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}\

dove entrambi i membri possono essere divisi per \alpha_0 \ , se è diversa da zero, normalizzando \alpha_0 = 1\ . In questo modo l'equazione assume la forma:

y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}

Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale y[{n}] è funzione del valore dell'uscita y[{n-p}] a un tempo precedente, dell'ingresso attuale x[{n}] e dei precedenti valori x[{n-q}]\ . Considerando la trasformata zeta della precedente equazione, dalle proprietà di linearità e traslazione temporale si ha:

Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}\

che può essere scritta in modo da evidenziare la funzione di trasferimento:

H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + \cdots + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + \cdots + z^{-N} \alpha_N}

Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di H, e il denominatore ha N radici, corrispondenti ai poli di H. Riscrivendo la funzione di trasferimento in modo da evidenziare questo fatto si ha:

H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})\cdots(1 - q_M z^{-1}) } { (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})\cdots(1 - p_N z^{-1})}\

dove q_k\ è il k-esimo zero e p_k\ il k-esimo polo. Se il sistema descritto da H(z)\ è pilotato dal segnale X(z)\ allora l'uscita è data da Y(z) = H(z)X(z).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ E. R. Kanasewich, Time sequence analysis in geophysics, 3rd, University of Alberta, 1981, pp. 185–186, ISBN 978-0-88864-074-1.
  2. ^ J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh, The analysis of sampled-data systems in Trans. Am. Inst. Elec. Eng., vol. 71, II, 1952, pp. 225–234.
  3. ^ Cornelius T. Leondes, Digital control systems implementation and computational techniques, Academic Press, 1996, p. 123, ISBN 978-0-12-012779-5.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
  • Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5, 445--457 (1999). PDF

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]