Trasformata zeta

In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice. Viene impiegata in particolare nella teoria dei segnali.

Storia

Il concetto di trasformata zeta era già noto a Laplace, ma fu reintrodotto nel 1947 da W. Hurewicz come mezzo utile a risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti. Il termine "trasformata zeta" fu coniato successivamente, nel 1952, da Ragazzini e Zadeh, ricercatori della Columbia University. Il nome potrebbe esser derivato dall'idea che la lettera "z" sia somigliante ad una lettera "s" campionata/digitalizzata, ove "s" è la lettera spesso usata per indicare la variabile indipendente nella trasformata di Laplace. Un'altra possibile origine è la presenza della lettera "Z" in entrambi i nomi Ragazzini e Zadeh. Questa nomenclatura diverge dall'usanza adottata in ambito scientifico, in cui si associa un metodo o un teorema col nome del principale sviluppatore.

Definizione

Trasformata bilatera

La trasformata bilatera di una funzione $x(n)$ è la serie formale di potenze $X(z)$ definita come:

$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

dove $n$ è un numero intero e $z$ è complesso:

$z = A e^{j\phi} = A(\cos{\phi}+j\sin{\phi})$

con $A$ il modulo di $z$, $j$ l'unità immaginaria e $\phi$ la fase in radianti.

Trasformata unilatera

Nei casi in cui $x(n)$ è definita soltanto per $n \ge 0$, la trasformata unilatera è espressa come:

$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$

In teoria dei segnali questa definizione è utilizzata per valutare la trasformata della risposta all'impulso unitario di un sistema causale tempo-discreto.

Regione di convergenza

La regione di convergenza è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la trasformata della funzione converge:

$ROC = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| < \infty \right\}$

La serie converge per valori di $z$ in modulo maggiori del raggio di convergenza $R$, definito tramite il criterio della radice come:

$R = \limsup_{n\to\infty} \left|f(n)\right|^{\frac{1}{n}}$

Di applicazione meno generale è il criterio del rapporto, poiché esso richiede che i termini siano diversi da zero a partire da un $n$ arbitrario in poi. Nondimeno, spesso è più agevole calcolare il limite tramite tale criterio piuttosto che utilizzando quello della radice. Nel caso entrambi i limiti esistano, essi coincidono. Non bisogna tuttavia prendere il reciproco del limite superiore, in quanto la trasformata zeta è una serie di potenze con esponente negativo.

Trasformata inversa

L'espressione della trasformata inversa, che può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy, è la seguente:

$x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \$

dove $C$ è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di $X(z)$ e circonda l'origine del piano. Questa relazione vale sia per n positivi, che per n negativi.

Un caso di particolare importanza si presenta quando $C$ è la circonferenza unitaria. In tal caso la trasformata zeta inversa assume la forma della trasformata di Fourier discreta inversa:

$x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega. \$

Proprietà

	Dominio del tempo	Dominio Z	Dimostrazione	ROC
Notazione	$x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}$		ROC: $r_2<|z|<r_1 \$
Linearità	$a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]\$	$a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z) \$	$\begin{array} {lcl} X(z) = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} (a_1x_1(n)+a_2x_2(n))z^{-n}\ & \\ = a_1\sum_{n=-\infty}^{\infty} (x_1(n))z^{-n} + & \\ a_2\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x_2(n))z^{-n} & \\ = a_1X_1(z) + a_2X_2(z)\end{array}$	Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Espansione temporale	$x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[r], & n = rk \\ 0, & n \not= rk \end{cases}$ $r$ intero	$X(z^k) \$	$\begin{array} {lcl} X_k(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_k(n)z^{-n} = & \\ = \sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)z^{-rk} = & \\ =\sum_{r=-\infty}^{\infty}x(r)(z^{k})^{-r} = & \\ = X(z^{k}) \end{array}$	$r^{1/k}$
Traslazione temporale	$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$	$Z\{x[n-k]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}$ Posto $j = n - k$ si ha: $\sum_{n=0}^{\infty} x[n-k]z^{-n}= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-(j+k)}= \sum_{j=-k}^{\infty} x[j]z^{-j}z^{-k}$ $= z^{-k}\sum_{j=-k}^{\infty}x[j]z^{-j}$ $= z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j}$ essendo $x[\beta]=0$ se $\beta<0$. Da cui: $z^{-k}\sum_{j=0}^{\infty}x[j]z^{-j}= z^{-k}X(z)$	ROC, eccetto $z=0\$ se $k>0\,$ e $z=\infty$ se $k<0\$
Scalatura nel dominio z	$a^n x[n]\$	$X(a^{-1}z) \$	$\begin{array} {lcl} Z \{a^n x[n]\} = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} a^{n}x(n)z^{-n}& \\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(a^{-1}z)^{-n} & \\ = X(a^{-1}z) & \\ \end{array}$	$|a|r_2<|z|<|a|r_1 \$
Inversione temporale	$x[-n]\$	$X(z^{-1}) \$	$\begin{array} {lcl} \mathcal{Z}\{x(-n)\} = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(-n)z^{-n}\ & \\ = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m)z^{m}\ & \\ = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(m){(z^{-1})}^{-m}\ & \\ = X(z^{-1}) & \\ \end{array}$	$\frac{1}{r_1}<|z|<\frac{1}{r_2} \$
Coniugazione complessa	$x^*[n]\$	$X^*(z^*) \$	$\begin{array} {lcl}Z\{x^*(n)\} = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x^*(n)z^{-n}\ & \\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} [x(n)(z^*)^{-n}]^*\ & \\ = [ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(z^*)^{-n}\ ]^* & \\ = X^*(z^*)& \\ \end{array}$	ROC
Parte reale	$\operatorname{Re}\{x[n]\}\$	$\frac{1}{2}\left[X(z)+X^*(z^*) \right]$		ROC
Parte immaginaria	$\operatorname{Im}\{x[n]\}\$	$\frac{1}{2j}\left[X(z)-X^*(z^*) \right]$		ROC
Differenziazione	$nx[n]\$	$-z \frac{dX(z)}{dz}$	$\begin{array} {lcl}Z\{nx(n)\} = & \\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n}\ & \\ = z \sum_{n=-\infty}^{\infty} nx(n)z^{-n-1}\ & \\ = -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)(-nz^{-n-1})\ & \\ = -z \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\frac{d}{dz}(z^{-n})\ & \\ = -z \frac{dX(z)}{dz}& \\ \end{array}$	ROC
Convoluzione	$x_1[n] * x_2[n]\$	$X_1(z)X_2(z) \$	$\begin{array} {lcl}\mathcal{Z}\{x_1(n)*x_2(n)\} = & \\ \mathcal{Z} \{\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l)\}\ & \\ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} [\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)x_2(n-l)]z^{-n}\ & \\ =\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l) \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n-l)z^{-n} ]\ & \\ =[\sum_{l=-\infty}^{\infty} x_1(l)z^{-l}] [\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_2(n)z^{-n} ]\ & \\ =X_1(z)X_2(z)& \\ \end{array}$	Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Cross-correlazione	$r_{x_1,x_2}=x_1^*[-n] * x_2[n]\$	$R_{x_1,x_2}(z)=X_1^*(1/z^*)X_2(z)\$		Almeno la regione di intersezione di ROC of $X_1(1/z^*)$ e $X_2(z)$
Prima differenza	$x[n] - x[n-1] \$	$(1-z^{-1})X(z) \$		Almeno la regione di intersezione di ROC of X1(z) e $|z|>0$
Accumulazione	$\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\$	$\frac{1}{1-z^{-1} }X(z)$	$\begin{array} {lcl}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\cdot z^{-n}\\ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}(x[n]+x[n-1]+\\ x[n-2]\cdots x[-\infty])z^{-n}\\ =X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\ =X[z]\sum_{j=0}^{\infty}z^{-j} \\ =X[z] \frac{1}{1-z^{-1}}\end{array}$
Moltiplicazione	$x_1[n]x_2[n]\$	$\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X_2(\frac{z}{v})v^{-1}\mathrm{d}v \$		-
Teorema di Parseval	$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n]\$	$\frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\frac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v \$

Teorema del valore iniziale e del valore finale

Analogamente alla trasformata di Laplace, anche per la trasformata zeta si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale del campionamento partendo dalla sua trasformata.

Il teorema del valore iniziale afferma che:

$x[0]=\lim_{z\rightarrow \infty}X(z) \$

se $x[n]$ è causale (ovvero nulla per n negativi).

Il teorema del valore finale afferma che:

$x[\infty]=\lim_{z\rightarrow 1}(1-z^{-1})X(z) \$

solamente se i poli di $X(z)$ sono all'interno del cerchio di raggio unitario.

Trasformata di alcune funzioni notevoli

Siano:

• $u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$
• $\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$

Funzione, $x[n]$	Trasformata Z, $X(z)$	ROC
$\delta[n] \,$	$1\,$	$\mbox{ogni }z\,$
$\delta[n-n_0] \,$	$z^{-n_0} \,$	$z \neq 0\,$
$u[n] \,$	$\frac{1}{1-z^{-1} }$	$|z| > 1\,$
$\, e^{-\alpha n} u[n]$	$1 \over 1-e^{-\alpha }z^{-1}$	$|z| > |e^{-\alpha}| \,$
$-u[-n-1] \,$	$\frac{1}{1 - z^{-1}}$	$|z| < 1\,$
$n u[n] \,$	$\frac{z^{-1}}{( 1-z^{-1} )^2}$	$|z| > 1\,$
$- n u[-n-1] \,$	$\frac{z^{-1} }{ (1 - z^{-1})^2 }$	$|z| < 1 \,$
$n^2 u[n] \,$	$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$	$|z| > 1\,$
$- n^2 u[-n - 1] \,$	$\frac{ z^{-1} (1 + z^{-1} )}{(1 - z^{-1})^3}$	$|z| < 1\,$
$n^3 u[n] \,$	$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$	$|z| > 1\,$
$- n^3 u[-n -1] \,$	$\frac{z^{-1} (1 + 4 z^{-1} + z^{-2} )}{(1-z^{-1})^4}$	$|z| < 1\,$
$a^n u[n] \,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z| > |a|\,$
$-a^n u[-n-1] \,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z| < |a|\,$
$n a^n u[n] \,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z| > |a|\,$
$-n a^n u[-n-1] \,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z| < |a|\,$
$n^2 a^n u[n] \,$	$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$	$|z| > |a|\,$
$- n^2 a^n u[-n -1] \,$	$\frac{a z^{-1} (1 + a z^{-1}) }{(1-a z^{-1})^3}$	$|z| < |a|\,$
$\cos(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z| >1\,$
$\sin(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z| >1\,$
$a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z| > |a|\,$
$a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z| > |a|\,$

Relazione con la trasformata di Laplace

Per approfondire, vedi trasformata di Laplace.

La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:

$z \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{s T} \$

dove $T = 1/f_s \$ è il periodo di campionamento, con $f_s$ la frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o in hertz).

Sia:

$\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - n T)$

un treno di impulsi e sia:

$\begin{align} x_q(t) & \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ x(t) \Delta_T(t) = x(t) \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - n T) \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} x(n T) \delta(t - n T) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T) \end{align}$

la rappresentazione tempo-continua del segnale $x[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ x(nT)$ ottenuto campionando $x(t)$. La trasformata di Laplace di $x_q(t)$ è data da:

$\begin{align} X_q(s) & = \int_{0^-}^\infty x_q(t) e^{-s t} \,dt \\ & = \int_{0^-}^\infty \sum_{n=0}^\infty x[n] \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt \\ & = \sum_{n=0}^\infty x[n] \int_{0^-}^\infty \delta(t - n T) e^{-s t} \, dt \\ & = \sum_{n=0}^\infty x[n] e^{-n s T} \end{align}$

Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta $x[n] \$, ovvero:

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$

con la sostituzione $z \leftarrow e^{s T}$. Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato:

$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}$

Relazione tra il piano s e il piano z

Per quanto detto la variabile s può essere riscritta utilizzando la rappresentazione rettangolare come:

$z=e^{sT}=e^{T\sigma}e^{jT\omega}=e^{T\sigma}e^{jT(\omega+\frac{2k\pi}{T})} \qquad k \in \R$

L'ultima identità deriva dal fatto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo i2π.

Da questa relazione si possono fare alcune considerazioni importanti

• ogni punto sul piano s la cui parte immaginaria differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento viene trasformato nello stesso punto sul piano z

• ogni punto sul piano s appartenente al semipiano negativo viene trasformato in un punto interno alla circonferenza di raggio 1 poiché $|z|=e^{T\sigma}$

• ogni punto sul piano s appartenente al semipiano positivo viene trasformato in un punto esterno alla circonferenza di raggio unitario

• ogni punto appartenente all'asse immaginario viene trasformato in un punto sulla circonferenza di raggio unitario

In virtù di queste considerazioni ha senso definire anche una striscia primaria e più strisce complementari nel piano s. La striscia primaria comprende tutti i numeri complessi con parte immaginaria compresa tra $\pm j\omega_s /2$, le strisce complementari si ottengono, a partire da quella primaria, per traslazione verticale di un multiplo intero della pulsazione di campionamento. Per quanto detto è possibile far corrispondere ogni punto del piano z con un punto della striscia primaria.

Al pari di quanto avviene nel piano s è possibile, anche nel piano z, tracciare dei luoghi a $\delta$ e $\omega$ costante.

Campionamento

Si consideri un segnale tempo-continuo $x(t)$, la cui trasformata è:

$L\{x(t)\} \equiv X(s) \equiv \int_0^{\infty}{x(t)e^{-st}dt}$

Se $x(t)$ è campionato uniformemente con un treno di impulsi in modo da ottenere un segnale discreto $x^{*}[k] = x(kT)$ (supponendo il processo ideale), allora può essere rappresentato come:

$x^{*}[k] = x(kT) = \sum_{k=0}^{\infty}{x(t) \delta(t-kT)}$

dove $T$ è l'intervallo di campionamento. In tale contesto la trasformata di Laplace è data da:

$\begin{array}{l l l l l l} L\{x(kT)\} & = & X^{*}(s) & = & \int_0^{\infty}{\sum_{k=0}^{\infty}{x(t).\delta(t-kT)} e^{-st}dt} \\ & = & \sum_{k=0}^{\infty}{x^{*}(k).z^{-k}}, z = e^{sT} \\ \left. L\{x(kT)\}\right|_{s = \frac{\ln{(z)}}{T}} & = & \left.X^{*}(s)\right|_{s = \frac{\ln{(z)}}{T}} & = & Z\{x^{*}(k)\} \end{array}$

Trasformata di Fourier a tempo discreto

Per approfondire, vedi Trasformata di Fourier a tempo discreto.

La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:

$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,z^{-n}$

che si ottiene ponendo $z = e^{i \omega}\,$. Dal momento che $|e^{i \omega}| = 1\,$, la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso.

Modello autoregressivo a media mobile

Per approfondire, vedi Modello autoregressivo a media mobile.

Un sistema basato sul modello autoregressivo a media mobile è rappresentato dall'equazione:

$\sum_{p=0}^{N}y[n-p]\alpha_{p} = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q}\$

dove entrambi i membri possono essere divisi per $\alpha_0 \$, se è diversa da zero, normalizzando $\alpha_0 = 1\$. In questo modo l'equazione assume la forma:

$y[n] = \sum_{q=0}^{M}x[n-q]\beta_{q} - \sum_{p=1}^{N}y[n-p]\alpha_{p}$

Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale $y[{n}]$ è funzione del valore dell'uscita $y[{n-p}]$ ad un tempo precedente, dell'ingresso attuale $x[{n}]$ e dei precedenti valori $x[{n-q}]\$. Considerando la trasformata zeta della precedente equazione, dalle proprietà di linearità e traslazione temporale si ha:

$Y(z) \sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p} = X(z) \sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}\$

che può essere scritta in modo da evidenziare la funzione di trasferimento:

$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{q=0}^{M}z^{-q}\beta_{q}}{\sum_{p=0}^{N}z^{-p}\alpha_{p}} = \frac{\beta_0 + z^{-1} \beta_1 + z^{-2} \beta_2 + \cdots + z^{-M} \beta_M}{\alpha_0 + z^{-1} \alpha_1 + z^{-2} \alpha_2 + \cdots + z^{-N} \alpha_N}$

Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di $H$, ed il denominatore ha N radici, corrispondenti ai poli di $H$. Riscrivendo la funzione di trasferimento in modo da evidenziare questo fatto si ha:

$H(z) = \frac{(1 - q_1 z^{-1})(1 - q_2 z^{-1})\cdots(1 - q_M z^{-1}) } { (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1})\cdots(1 - p_N z^{-1})}\$

dove $q_k\$ è il k-esimo zero e $p_k\$ il k-esimo polo. Se il sistema descritto da $H(z)\$ è pilotato dal segnale $X(z)\$ allora l'uscita è data da $Y(z) = H(z)X(z)$.

Bibliografia

• El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
• Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5, 445--457 (1999). PDF

Voci correlate

• Analisi di Fourier
• Convoluzione
• Lemma di Riemann-Lebesgue
• Serie di Fourier
• Teorema di convoluzione
• Teorema di inversione di Fourier
• Teorema di Parseval
• Teorema di Plancherel
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata di Fourier
• Trasformata discreta di Fourier
• Trasformata inversa di Fourier
• Trasformata di Laplace
• Trasformata di Steinmetz
• Trasformata integrale

Collegamenti esterni

• (EN) MathWorld Trasformata Zeta
• (EN) MathWorld Trasformata Zeta Unilaterale
• (EN) MathWorld Trasformata Zeta Bilaterale
• (EN) J. H. Matthews e R. W. Howell Introduction to the Z-transform (California State University, Fullerton)
• (EN) Springer Encyclopedia of Mathematics: Z-Transform

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