Teorema di inversione di Fourier

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In matematica, il teorema di inversione di Fourier, anche detto formula di inversione di Fourier, definisce l'inversa della trasformata di Fourier, detta anche antitrasformata di Fourier, la quale permette di risalire ad una funzione f(x) conoscendo la sua trasformata X(f).

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di inversione di Fourier afferma che se f e la sua trasformata appartengono ad L^1 allora:[1]

f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} \hat{f}(t)e^{ixt}\,dt

In modo informale si può affermare che, all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo sul quale si calcola la serie di Fourier di una funzione, la somma della serie approssima il valore della trasformata inversa.

In questo modo è possibile risalire ad una funzione a partire dalla sua trasformata. Essa si esprime dicendo che matematicamente una funzione f(x) è scomponibile come la somma infinita su tutte le frequenze di sinusoidi con peso pari alla trasformata o spettro X(f) di f(x). Equivalentemente in termini fisici si dice invece che la grandezza f(x) è data dalla sovrapposizione di infinite onde a differente frequenza con peso pari alla trasformata o spettro di f(x). A differenza del caso della serie di Fourier in cui la funzione è a quadrato sommabile, tuttavia, il teorema di inversione assume che f sia integrabile secondo Lebesgue, ovvero:[2]

\int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|\,dx<\infty

Per esempio la funzione a rettangolo:

f(x) = \begin{cases}1 & -a < x < a \\0 & x \le -a, x \ge a\end{cases}

ha come trasformata di Fourier:

(\mathcal{F}f)(t) = 2\sin(at)/t

In questo caso i teoremi di inversione indagano la convergenza dell'integrale

\lim_{b\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-b}^b (\mathcal{F}f)(t) e^{itx}\,dt

Al contrario, se abbiamo una distribuzione temperata allora la trasformata di Fourier è a sua volta una distribuzione temperata, e la formula di inversione è dimostrata più semplicemente.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si consideri la trasformata di Fourier di una funzione nello spazio di Schwartz. Tale spazio contiene funzioni lisce f : \mathbb{R}^N \to \mathbb{C} tali che, per ogni multi-indice \alpha e \beta si abbia:

\sup_{x \in \mathbb{R}^N}|x^{\alpha}\partial^{\beta}f(x)| < \infty

Tali funzioni sono integrabili, e la trasformata di una funzione di Schwartz è una funzione di Schwartz. Si usi la convenzione che

\widehat{f}(\xi) = \int e^{-2\pi i x\cdot\xi}f(x)\,dx

e si ricordi che per una funzione di Schwartz si ha:

 f(x) = \int_{\mathbb{R}^N}e^{2\pi i x\cdot\xi}\widehat{f}(\xi)\,d\xi

Per dimostrare il teorema è necessario utilizzare i seguenti fatti:

\int f\widehat{g} = \int\widehat{f} g
  • Se \eta \in \mathbb{R}^N e g(x) = e^{2\pi i x\cdot \eta}f(x), allora:
\widehat{g}(\xi) = \widehat{f}(\xi - \eta)
  • Se a \in \mathbb{R} e g(x) = f(ax), allora:
\widehat{g}(\xi) = \widehat{f}(\xi/a)/a^N

Si definisca \phi(x) = e^{-\pi|x|^2}. Allora:

\widehat{\phi} = \phi

Sia ora:

\phi_{\varepsilon}(x) = \frac{1}{\varepsilon^N}\phi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)

Denotando con * la convoluzione, \phi_{\varepsilon} è un'approssimazione all'identità:

\lim_{\varepsilon\to 0}\phi_{\varepsilon} * f \to f

dove la convergenza è uniforme per funzioni uniformemente continue e limitate.

Si può dimostrare la formula di inversione notando che per il teorema della convergenza dominata si ha:

\int e^{2\pi i x\cdot\xi}\widehat{f}(\xi)\,d\xi = \lim_{\varepsilon \to 0}\int e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2 + 2\pi i x\cdot\xi}\widehat{f}(\xi)\,d\xi

e definendo:

g(\xi) = e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2 + 2\pi i x\cdot\xi}

Applicando quindi il secondo e terzo punto definiti in precedenza:

\widehat{g}(y) = \frac{1}{\varepsilon^N}e^{-\frac{\pi}{\varepsilon^2}|x - y|^2}

Si può quindi fare la trasformata di g nell'ultimo integrale ottenendo:

\int e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2 + 2\pi i x\cdot\xi}\widehat{f}(\xi)\,d\xi = \int \widehat{g}(y)f(y)\,dy = \int \frac{1}{\varepsilon^N}e^{-\frac{\pi}{\varepsilon^2}|x - y|^2}f(y)\,dy = (\phi_{\varepsilon} * f)(x)

ovvero la convoluzione di ƒ con l'approssimazione all'identità. Quindi:

\lim_{\varepsilon\to 0}\int e^{-2\pi i x\cdot\xi}\widehat{f}(\xi)e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2}d\xi = \lim_{\varepsilon\to 0}\int \frac{1}{\varepsilon^N}e^{-\frac{\pi}{\varepsilon^2}|y - x|^2}f(y)\,dy = \lim_{\varepsilon\to 0}\phi_{\varepsilon} * f (x) = f(x)

Questo stabilisce che la trasformata di Fourier è invertibile sullo spazio di Schwartz. In particolare è limitata in L^2 e le funzioni di Schwartz sono dense in L^2. La trasformata e la sua inversa allora si estendono a operatori lineari limitati \mathcal{F}, \mathcal{F}^{-1} su tutto L^2 per i quali \mathcal{F}\mathcal{F}^{-1} = \mathcal{F}^{-1}\mathcal{F} = I, con I l'identità.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 186
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 183

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.
  • G.B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, 2nd ed, Princeton University Press, 1995.
  • Lennart Carleson, On the convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Math., 1966, pag. 116, 135-157.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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