Teorema della convergenza dominata

In matematica, il teorema della convergenza dominata fornisce una condizione sufficiente sotto la quale il limite di una successione di funzioni commuta con l'operazione di integrazione.

Enunciato

Sia $(X, \mathfrak{F},\mu)$ uno spazio di misura e $\{f_n \}$ una successione di funzioni misurabili su $X$ tale che esiste il limite:

$\lim_{n\to\infty}f_n (x) = f(x) \quad \forall x \in X$

Se esiste una funzione $g \in L^1(\mu)$ tale che:

$|f_n(x)| \leq g(x)$

allora $\{f_n\}$ si dice dominata da $g$

Inoltre segue che:

$\lim_{n\rightarrow\infty} \int_X f_n d\mu =\int_X f d\mu$

$\lim_{n\rightarrow\infty} \int_X |f_n - f| d\mu = 0$

ovvero $f_n$converge a $f$ in $L^1$

Dimostrazione

Dal momento che $f$ denota il limite quasi ovunque della successione $f_n$, allora la successione è misurabile e dominata da $g$, e quindi integrabile.

Si vuole mostrare che:

$\int_S\lim_{n\rightarrow\infty} f_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S f_n$

Dal momento che:

$\biggl|\int_Sf\,d\mu-\int_Sf_n\,d\mu\biggr|=\biggl|\int_S(f-f_n)\,d\mu\biggr|\le\int_s|f-f_n|\,d\mu$

e che:

$|f-f_n|\le 2g \$

allora si può usare il lemma di Fatou inverso e si ha:

$\limsup_{n\to\infty}\int_S|f-f_n|\,d\mu \le\int_S\limsup_{n\to\infty}|f-f_n|\,d\mu.$

Ma dal momento che:

$\limsup_{n\to\infty}|f-f_n|=0.$

allora:

$\int_S\limsup_{n\to\infty}|f-f_n|\,d\mu=0$

e questo consente di affermare che:

$\lim_{n\to\infty}\int_s|f-f_n|\,d\mu=0$

dimostrando la tesi.

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341

Voci correlate

• Passaggio al limite sotto segno di integrale
• Teorema della convergenza monotona
• Lemma di Fatou

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