Teorema della convergenza dominata

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In matematica, il teorema della convergenza dominata fornisce una condizione sufficiente sotto la quale il limite di una successione di funzioni commuta con l'operazione di integrazione.

Il teorema viene generalizzato dal teorema di convergenza di Vitali.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia (X, \mathfrak{F},\mu) uno spazio di misura e \{f_n \} una successione di funzioni misurabili su X tale che esiste il limite:

\lim_{n\to\infty}f_n (x) = f(x) \quad \forall x \in X

Se esiste una funzione g \in L^1(\mu) tale che:

|f_n(x)| \leq g(x)

allora \{f_n\} si dice dominata da g

Inoltre segue che:[1]

\lim_{n\rightarrow\infty} \int_X f_n d\mu =\int_X f d\mu
\lim_{n\rightarrow\infty} \int_X |f_n - f| d\mu = 0

ovvero f_n converge a f in L^1

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Dal momento che f denota il limite quasi ovunque della successione f_n, allora la successione è misurabile e dominata da g, e quindi integrabile.

Si vuole mostrare che:

\int_S\lim_{n\rightarrow\infty} f_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S f_n

Dal momento che:

\biggl|\int_Sf\,d\mu-\int_Sf_n\,d\mu\biggr|=\biggl|\int_S(f-f_n)\,d\mu\biggr|\le\int_s|f-f_n|\,d\mu

e che:

|f-f_n|\le 2g \

allora si può usare il lemma di Fatou inverso e si ha:


\limsup_{n\to\infty}\int_S|f-f_n|\,d\mu
\le\int_S\limsup_{n\to\infty}|f-f_n|\,d\mu

Ma dal momento che:


\limsup_{n\to\infty}|f-f_n|=0

allora:


\int_S\limsup_{n\to\infty}|f-f_n|\,d\mu=0

e questo consente di affermare che:


\lim_{n\to\infty}\int_s|f-f_n|\,d\mu=0

dimostrando la tesi.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 26

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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