Zero (analisi complessa)

In analisi complessa, uno zero di una funzione olomorfa f è un numero complesso a tale che f(a) = 0.

Molteplicità di uno zero

Un numero complesso a è uno zero semplice di f, o uno zero di molteplicità 1 di f, se f può essere scritta nella forma

$f(z)=(z-a)g(z)$

dove g è una funzione olomorfa g tale che g(a) non è zero.

In generale, la molteplicità di uno zero di f in a è quel numero positivo n (che, per le funzione olomorfe, risulta essere necessariamente un intero) per il quale c'è una funzione olomorfa g tale che

$f(z)=(z-a)^ng(z)\ \mbox{e}\ g(a)\neq 0.$

Esistenza degli zeri

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ha almeno uno zero nel piano complesso. Questo non vale, in generale, nel caso in cui si abbia a che fare con polinomi a coefficienti reali e si voglia determinare gli zeri reali: alcune funzioni polinomiali a coefficienti reali non ammettono zeri reali (ma ammettono comunque zeri complessi essendo i numeri reali dei particolari numeri complessi). Un esempio è f(x) = x² + 1.

Proprietà

Una proprietà importante degli zeri di una funzione olomorfa (non identicamente nulla) è che tali zeri sono isolati. In altre parole, per ogni zero di una funzione olomorfa, esiste un intorno di tale zero che non contiene altri zeri.

Voci correlate

• Radice (matematica)
• Polo (analisi complessa)
• Teorema di Hurwitz

Collegamenti esterni

• (EN) Calcolo delle radici complesse di un polinomio a coefficienti reali (free online solver)

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