Trasformata integrale

Una trasformata integrale è un'applicazione, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni, realizzata con un integrale.

Le trasformate integrali sono utili per ridurre equazioni differenziali lineari a equazioni algebriche e per l'analisi dei segnali.

A prescindere dai formalismi matematici, il motivo per il quale vengono introdotte le trasformate è semplice da comprendere. Alcuni problemi, nella loro formulazione originale, sono estremamente complessi da risolvere. Può risultare utile "rimappare" le funzioni che reggono tali problemi in un dominio diverso da quello originario. La soluzione delle funzioni "mappate" nei nuovi domini può essere molto più semplice della soluzione iniziale. Ovviamente, dopo la soluzione, occorre ritornare dalle funzioni trasformate a quelle originarie mediante l'operazione inversa della trasformata integrale.

Forma generale

La forma generale di una trasformata integrale lineare $\mathcal{T}(f)$ è:

$\mathcal{T}(f)(s)=\int_a^b K(s,t) f(t) dt$

$K(s,t)$, la funzione che differenzia le varie trasformazioni, è detta nucleo o kernel della trasformazione. La maggior parte delle trasformate usate sono inoltre integrali impropri, cioè uno o entrambi gli estremi di integrazione sono $\infty$.

Esempi

Esistono molti esempi di trasformata integrale.

• La trasformata di Fourier è definita come:

$\mathcal{F}(f)(s)=\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{is t} dt$

• La trasformata di Laplace è definita come:

$\mathfrak{L}(f)(s)=\int_{0}^\infty f(t) e^{-s t} dt$

• La trasformata di Mellin è definita come:

$\mathcal{M}(f)(s)= \int_{0}^\infty f(t) t^{s-1} dt$

• La trasformata di Hankel è definita come:

$\mathcal{H}_\mu(f)(s)= \int_{0}^\infty f(t) J_\mu(st) \sqrt{st} dt$, dove $J_\mu(x)$ è una funzione di Bessel.

• La trasformata di Hilbert è definita come:

$\mathcal{H}(f)(s)=\frac 1 \pi \text{p.v.} \int_{-\infty}^\infty \frac{f(t) dt}{s-t}$

• Si possono trovare altri esempi nel sito MathWorld (vedi sotto).

Bibliografia

• I. N. Sneddon The use of Integral Transforms (McGraw-Hill, NY, 1972)
• A. Erdelyi et al. Tables of Integral Transforms (McGrawHill, NY, 1954)
• J. Miles Integral transforms in applied mathematics American Journal of Physics 40, 785 (1972)

Collegamenti esterni

• Trasformata integrale MathWorld
• Trasformata integrale EqWorld

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