Trasformata integrale

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Una trasformata integrale è un'applicazione, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni, realizzata attraverso un integrale.

Le trasformate integrali sono utili per ridurre equazioni differenziali lineari a equazioni algebriche e per l'analisi dei segnali.

A prescindere dai formalismi matematici, il motivo per il quale vengono introdotte le trasformate è semplice da comprendere: poiché alcuni problemi, nella loro formulazione originale, sono estremamente complessi da risolvere nel dominio di origine, può risultare utile "rimappare" le funzioni che reggono tali problemi in un dominio diverso da quello originario. La soluzione delle funzioni "mappate" nei nuovi domini può dunque essere molto più semplice della soluzione iniziale. Ovviamente, dopo la soluzione trovata, occorre ritornare dalle funzioni trasformate a quelle originarie, cioè nel dominio di origine, mediante l'operazione inversa della trasformata integrale o antitrasformazione.

Forma generale[modifica | modifica wikitesto]

La forma generale di una trasformata integrale lineare \mathcal{T}(f) è:

 \mathcal{T}(f)(s)=\int_{t_1}^{t_2} K(s,t) f(t) dt

dove  K(s,t) è una funzione detta nucleo integrale o kernel, che caratterizza e definisce il tipo di trasformazione. La maggior parte delle trasformate usate sono integrali impropri, cioè uno o entrambi gli estremi di integrazione sono \infty.

Per alcuni nuclei esiste una trasformata inversa, a cui è associato un "nucleo inverso"  K^{-1}(u,t):

 f(t) = \int \limits_{u_1}^{u_2} K^{-1}( u,t )\, (\mathcal T f(u))\, du

I nuclei integrali più diffusi utilizzato la funzione esponenziale, in particolare quello della trasformata di Fourier e della sua generalizzazione di Laplace, dove la trasformata estende "al continuo" il concetto di rappresentare una funzione mediante combinazione lineare di esponenziali (serie di Fourier).

Alcune tra le principali trasformate integrali[modifica | modifica wikitesto]

Trasformata Simbolo K f(t) t1 t2 K−1 u1 u2
Trasformata di Fourier \mathcal{F} \frac{e^{-iut}}{\sqrt{2 \pi}} f \in L_1 −∞ \frac{e^{iut}}{\sqrt{2 \pi}} −∞
Trasformata seno (Fourier) \mathcal{F}_s \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(ut) a valori reali, definita su [0,\infty) 0 \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(ut) 0
Trasformata coseno (Fourier) \mathcal{F}_c \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos(ut) a valori reali, definita su [0,\infty) 0 \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos(ut) 0
Trasformata di Hartley \mathcal{H} \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} −∞ \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}} −∞
Trasformata di Mellin \mathcal{M} tu−1 0 \frac{t^{-u}}{2\pi i}\, c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
Trasformata di Laplace bilatera \mathcal{B} e−ut −∞ \frac{e^{ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
Trasformata di Laplace \mathcal{L} e−ut 0 \frac{e^{ut}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
Trasformata di Weierstrass \mathcal{W} \frac{e^{-\frac{(u-t)^2}{4}}}{\sqrt{4\pi}}\, −∞ \frac{e^{\frac{(u-t)^2}{4}}}{i\sqrt{4\pi}} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty
Trasformata di Hankel t\,J_\nu(ut) 0 u\,J_\nu(ut) 0
Trasformata di Abel \frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}} u \frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\frac{d}{du} t
Trasformata di Hilbert \mathcal{H}il \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} −∞ \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t} −∞
Nucleo di Poisson \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} 0
Trasformata N \mathcal{N} e−st f(ut) 0 \frac{e^{st/u}}{2\pi i} c\!-\!i\infty c\!+\!i\infty

Negli estremi di integrazione della trasformata inversa, c è una costante dipendente dalla natura della funzione considerata.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) I. N. Sneddon The use of Integral Transforms (McGraw-Hill, NY, 1972)
  • (EN) A. Erdelyi et al. Tables of Integral Transforms (McGrawHill, NY, 1954)
  • (EN) J. Miles Integral transforms in applied mathematics American Journal of Physics 40, 785 (1972)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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