Teorema di convoluzione

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In matematica, il teorema di convoluzione afferma che sotto opportune condizioni la trasformata di Laplace, così come la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse.

Questo teorema ha importanti risvolti nell'analisi dei segnali, in particolare nell'ambito delle reti lineari.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Siano  f e  g due funzioni la cui convoluzione è indicata da  f*g . Sia  \mathcal{F} l'operatore trasformata di Fourier, sicché  \mathcal{F}\{f\} e  \mathcal{F}\{g\} sono le trasformate di  f e  g rispettivamente. Allora:

\mathcal{F}\{f*g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}

dove \cdot denota la moltiplicazione. Si ha anche che:

\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}

Applicando la trasformata inversa \mathcal{F}^{-1}, si ottiene:

f*g= \mathcal{F}^{-1}\big\{\mathcal{F}\{f\}\cdot\mathcal{F}\{g\}\big\}

Si noti che la relazione è valida esclusivamente per le forme della trasformata mostrate nella dimostrazione riportata in seguito. Il teorema è valido anche per la trasformata di Laplace.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione presentata è mostrata per una particolare normalizzazione della trasformata di Fourier: nei casi in cui la normalizzazione sia differente, nella derivazione compare un fattore scalare.

Siano f, g appartenenti a L^1(\R^n). Sia F la trasformata di Fourier di f e G la trasformata di g:

F(\nu) = \mathcal{F}\{f\} = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \, \mathrm{d}x
G(\nu) = \mathcal{F}\{g\} = \int_{\mathbb{R}^n}g(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \, \mathrm{d}x

dove il punto tra x e \nu indica il prodotto interno a \R^n. Sia h la convoluzione di f e g:

h(z) = \int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, \mathrm{d} x

Si nota che:

 \int\!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)| \int |g(z-x)|\,dx\,dz = \int |f(z)|\,\|g\|_1\,dz=\|f\|_1 \|g\|_1

e quindi, per il teorema di Fubini, si ha che h\in L^1(\mathbb{R}^n), e dunque la sua trasformata H è definita dalla formulazione integrale:


\begin{align}
  H(\nu) = \mathcal{F}\{h\} = \int_{\mathbb{R}^n} h(z) e^{-2 \pi i z\cdot\nu}\, dz = \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, dx\, e^{-2 \pi i z\cdot \nu}\, dz
\end{align}

Dal momento che:

 |f(x)g(z-x)e^{-2\pi i z\cdot\nu}|=|f(x)g(z-x)|

grazie a quanto detto sopra si può applicare nuovamente il teorema di Fubini:

H(\nu) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\left(\int_{\mathbb{R}^n} g(z-x)e^{-2 \pi i z\cdot \nu}\,dz\right)\,dx

Sostituendo y=z-x si ha quindi dy = dz, e dunque:

H(\nu) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \left( \int_{\mathbb{R}} g(y) e^{-2 \pi i (y+x)\cdot\nu}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \nu} \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\nu}\,dy \right) \,dx
=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi i x\cdot \nu}\,dx \int_{\mathbb{R}^n} g(y) e^{-2 \pi i y\cdot\nu}\,dy

Questi due integrali definiscono F(\nu) e G(\nu), così:

H(\nu) = F(\nu) \cdot G(\nu)

come si voleva dimostrare.

Convoluzione discreta[modifica | modifica wikitesto]

Si può mostrare in modo simile che la convoluzione discreta di due successioni x e y è data da:

x * y = \scriptstyle{DTFT}^{-1} \displaystyle \big[ \scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{x\}\cdot \ \scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{y\} \big]

dove \scriptstyle{DTFT} è la trasformata di Fourier a tempo discreto.

Un importante caso particolare è la convoluzione circolare di x e y definita da x_N * y, dove x_N è una sommazione periodica:

x_N[n]\ \stackrel{\text{def}}{=} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN]

Si può allora mostrare che:


\begin{align}
x_N * y & = \scriptstyle{DTFT}^{-1} \displaystyle \big[ \scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{x_N\} \cdot \scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{y\} \big] \\
& = \scriptstyle{DFT}^{-1} \displaystyle \big[ \scriptstyle{DFT}\displaystyle \{x_N\}\cdot \scriptstyle{DFT}\displaystyle \{y_N\} \big]
\end{align}

dove \scriptstyle{DFT} è la trasformata discreta di Fourier. Infatti, \scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{x_N\} può essere scritta come:

\scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{x_N\}(f) = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\scriptstyle{DFT}\displaystyle\{x_N\}[k]\right)\cdot \delta\left(f-k/N\right)

così che il suo prodotto con \scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{y\}(f) è una funzione discreta:

\scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{x_N\}\cdot \scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{y\} = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \scriptstyle{DFT}\displaystyle\{x_N\}[k]\cdot \underbrace{\scriptstyle{DTFT}\displaystyle \{y\}(k/N)}_{\scriptstyle{DFT}\displaystyle\{y_N\}[k]}\cdot \delta\left(f-k/N\right)

La DTFT inversa è:


\begin{align}
(x_N * y)[n] & = \int_{0}^{1} \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \scriptstyle{DFT}\displaystyle\{x_N\}[k]\cdot \scriptstyle{DFT}\displaystyle\{y_N\}[k]\cdot \delta\left(f-k/N\right)\cdot e^{i 2 \pi f n} df \\
& = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \scriptstyle{DFT}\displaystyle\{x_N\}[k]\cdot \scriptstyle{DFT}\displaystyle\{y_N\}[k]\cdot \int_{0}^{1} \delta\left(f-k/N\right)\cdot e^{i 2 \pi f n} df \\
& = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \scriptstyle{DFT}\displaystyle\{x_N\}[k]\cdot \scriptstyle{DFT}\displaystyle\{y_N\}[k]\cdot e^{i 2 \pi \frac{n}{N} k} \\
& = \scriptstyle{DFT}^{-1} \displaystyle \big[ \scriptstyle{DFT}\displaystyle \{x_N\}\cdot \scriptstyle{DFT}\displaystyle \{y_N\} \big]
\end{align}

come si voleva dimostrare.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Yitzhak Katznelson, An introduction to Harmonic Analysis, Dover, 1976, ISBN 0-486-63331-4.
  • (EN) Arfken, G. "Convolution Theorem." §15.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 810-814, 1985.
  • (EN) Bracewell, R. "Convolution Theorem." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 108-112, 1999.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]