Raggio di Schwarzschild

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Il raggio di Schwarzschild o raggio gravitazionale è un raggio caratteristico associato ad ogni massa. Il termine è utilizzato in fisica e astronomia (soprattutto nei campi della teoria della gravitazione e della relatività generale) per designare la distanza dal centro della distribuzione di massa a simmetria sferica che dà origine alla metrica di Schwarzschild, alla quale si trova, secondo la relatività generale, l'orizzonte degli eventi. Il raggio di Schwarschild è proporzionale alla massa del corpo: il Sole ha un raggio di Schwarzschild di circa 3 km, mentre quello della Terra misura approssimativamente 9 mm.

Si tratta di una superficie singolare, nel senso che su di essa le coordinate nelle quali è comunemente espressa la metrica di Schwartzschild perdono di significato, a causa di divergenze nel tensore metrico. La singolarità è tuttavia eliminabile, a differenza di quella che ha luogo in un buco nero, ad esempio cambiando coordinate, da quelle sferiche in cui la singolarità è presente, a quelle di Kruskal-Szekeresh.

Il raggio di Schwarzschild fu introdotto nel 1916 da Karl Schwarzschild, quando scoprì la soluzione esatta per il campo gravitazionale al di fuori di una stella dotata di simmetria sferica (vedi metrica di Schwarzschild, che è una soluzione delle equazioni di campo di Einstein).

Un buco nero è definito come l'oggetto le cui dimensioni siano inferiori rispetto al suo raggio di Schwarzschild. La superficie individuata da tale raggio funge da orizzonte degli eventi per un corpo statico (un buco nero rotante mostra un comportamento leggermente diverso). Le onde elettromagnetiche e la materia non possono superare l'orizzonte degli eventi provenendo dall'interno del corpo - da qui il nome di "buco nero". A titolo di esempio, il raggio di Schwarzschild del buco nero supermassiccio situato al centro della nostra Galassia è pari a circa 7,8 milioni di km.

Importante precisare che un buco nero sarà quasi sempre molto più piccolo del suo raggio di Schwarzschild, perché continua a contrarsi; il raggio denota solo la distanza minima dal centro del buco nero a cui la luce può passare senza essere inghiottita definitivamente da questo entrando nel campo gravitazionale dove la velocità di fuga è superiore a quella della luce (quindi la zona dentro sarà sempre buia).

Formula Classica del raggio di Schwarzschild[modifica | modifica sorgente]

La formula esprime la velocità di fuga che deve possedere un corpo che si trova a distanza rs dalla massa M, per sfuggire all'attrazione gravitazionale di quest'ultima.

Noto che nessun corpo può avere una velocità maggiore di quella della luce, la formula ci permette di calcolare la distanza limite entro la quale nessuna massa può allontanarsi da M.

L'espressione matematica del raggio di Schwarzschild può essere ottenuta anche senza ricorrere al complesso formalismo matematico della Relatività Generale, cercando il raggio di un corpo di massa M per il quale la velocità di fuga sia pari alla velocità della luce. Possiamo facilmente districarci da questo problema utilizzando l'energia cinetica e l'energia potenziale gravitazionale del corpo in questione:

E_c =\frac{1}{2}mv^2

in cui v=c cioè la velocità della luce

E_g=mgh=hG\frac{mM}{d^2}

in cui h(l'altezza)=d(distanza dal centro del corpo) e quindi

E_g=G\frac{mM}{d}

eguagliando le energie otteniamo che

\frac{1}{2}mc^2=G\frac{mM}{d}

a questo punto possiamo semplificare la massa dell'oggetto in fuga e mettere in evidenza d che è il raggio di Schwarzschild

r_s =\displaystyle{ \frac{2GM}{c^2}}

dove

r_s è il raggio di Schwarzschild;
G è la costante di gravitazione universale, pari a circa 6,67 × 10-11  N m²/ kg²;
M è la massa dell'oggetto;
c² è il quadrato della velocità della luce nel vuoto, pari a (299 792 458 m/s)²; = 8,98755 × 1016  m²/s².

Nel suo complesso, la costante di proporzionalità 2G/c^2 può essere approssimata ad un valore di circa 1,48 × 10-27  m / kg.

Una forma approssimata della formula è allora la seguente:

rs = 1,48 × 10-27  × M

Il diametro di un nucleo di atomo è circa 5 × 10-15 m, per cui una forza tale da portare l'unità di massa a diametri inferiori a tale valore, dovrebbe vincere le forze nucleari che tengono unito l'atomo.

In ogni caso, il raggio di Schwarzschild non può essere mai minore del doppio della lunghezza di Planck, né la massa minore della massa di Planck.


Classificazione dei buchi neri a seconda del raggio di Schwarzschild[modifica | modifica sorgente]

A seconda dell'ordine di grandezza della massa, e quindi del raggio, i buchi neri sono classificati in tre categorie: supermassicci, stellari e primordiali. Questa classificazione, come suggerisce il nome, è strettamente legata ai diversi processi che hanno dato origine ai diversi tipi di buchi neri.

Buchi neri supermassicci[modifica | modifica sorgente]

Accumulando materia di densità ordinaria (ad esempio 1000 kg/m³, come la densità dell'acqua, che per coincidenza è abbastanza simile alla densità media del Sole) fino a raggiungere circa 150 milioni di volte la massa del Sole, un tale agglomerato assumerà dimensioni inferiori al proprio raggio di Schwarzschild, assumendo i connotati di un buco nero supermassiccio (o supermassivo) di 150 milioni di masse solari (si ritiene che un limite superiore per la classe dei buchi neri supermassicci potrebbe essere pari ad alcuni miliardi di masse solari). L'esistenza di un buco nero supermassiccio al centro della via Lattea (dalla massa pari a oltre 2,5 milioni di masse solari) è la migliore prova sperimentale sinora trovata che giustifichi l'esistenza dei buchi neri in generale. Si ritiene che i buchi neri supermassicci non si formino direttamente dal collasso di una stella o di un ammasso stellare; potrebbero piuttosto avere origine come buchi neri di dimensioni stellari ed accrescere gradualmente la propria massa grazie all'assorbimento di altri corpi celesti e alla fusione con altri buchi neri. Maggiore è la massa complessiva di una galassia, maggiore sarà la massa del buco nero supermassiccio posto al centro di essa.

Buchi neri stellari[modifica | modifica sorgente]

Accumulando materia con una densità simile a quella di un nucleo atomico (circa 1018 kg/m³; anche le stelle di neutroni sono caratterizzate da un simile valore di densità) fino a raggiungere circa 3 masse solari, un tale agglomerato collasserà entro le dimensioni del proprio raggio di Schwarzschild, divenendo un buco nero stellare.

Buchi neri primordiali[modifica | modifica sorgente]

Il raggio di Schwarzschild associato ad una piccola massa è, naturalmente, estremamente ridotto. Una massa pari a quella del monte Everest è caratterizzata da un raggio di Schwarzschild inferiore a un nanometro; nessun meccanismo oggi noto sarebbe in grado di generare un oggetto così compatto. Buchi neri di questo tipo potrebbero essersi formati in una fase primordiale dell'evoluzione dell'universo, poco dopo il Big Bang, quando la densità della materia era estremamente alta. Questi ipotetici buchi neri di piccole dimensioni sono noti come buchi neri primordiali.

Curiosità[modifica | modifica sorgente]

Il racconto fantascientifico "Il raggio di Schwarzschild", ad opera di Connie Willis, fornisce una spiegazione accessibile e al tempo stesso sufficientemente accurata del concetto di raggio di Schwarzschild.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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