Spostamento verso il rosso gravitazionale

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Rappresentazione grafica del redshift gravitazionale di una stella di neutroni.

Lo spostamento verso il rosso (redshift) gravitazionale è lo spostamento relativo in frequenza di un'onda elettromagnetica dovuto alla forza di gravità di un oggetto compatto.

La luce ed ogni altra forma di radiazione elettromagnetica dotata di una determinata lunghezza d'onda, che si origina da una sorgente situata in una regione attraversata da un intenso campo gravitazionale, non appena entra in una regione di spazio in cui l'intensità del campo gravitazionale è inferiore risulta avere una lunghezza d'onda superiore a quella originaria; la radiazione di conseguenza diviene meno energetica e con una frequenza inferiore rispetto all'originale. Tale "stiramento" della lunghezza d'onda appare, nelle frequenze del visibile, come uno spostamento della radiazione verso la parte rossa dello spettro elettromagnetico.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Lo spostamento verso il rosso è spesso indicato con la variabile adimensionale z, definita come il mutamento frazionario della lunghezza d'onda [1]

z=\frac{\lambda_o-\lambda_e}{\lambda_e}

Dove \lambda_o è la lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica (fotone) come misurata dall'osservatore. \lambda_e è la lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica (fotone) misurata alla sorgente di emissione.

Lo spostamento verso il rosso gravitazionale deve essere calcolato nel quadro della relatività generale come

z=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}-1

con il raggio di Schwarzschild r_s=\frac{2GM}{c^2}, dove G indica la costante gravitazionale di Newton, M la massa del corpo gravitante, c la velocità della luce e r la distanza dal centro di massa del corpo gravitante.

Nel limite newtoniano, cioè, quando r è sufficientemente grande rispetto al raggio di Schwarzschild r_s, lo spostamento verso il rosso diventa

z_\mathrm{approx}=\frac{1}{2}\frac{r_s}{r} = \frac{GM}{c^2r}

Storia[modifica | modifica sorgente]

L'indebolimento gravitazionale della luce proveniente dalle stelle ad alta gravità è stata prevista da John Michell nel 1783 e da Pierre-Simon Laplace nel 1796, utilizzando il concetto di Isaac Newton di corpuscoli di luce (vedi: teoria di emissione) prevedendo che alcune stelle avrebbero una gravità così forte che la luce non sarebbe stata capace di sfuggire. L'effetto della gravità sulla luce venne poi esplorato da Johann Georg von Soldner (1801), il quale calcolò la quantità di deflessione di un raggio di luce proveniente dal sole, arrivando alla soluzione newtoniana la quale è metà del valore previsto dalla relatività generale. Tutto questo lavoro iniziale dava per scontato che la luce poteva rallentare e diminuire, il che era in contrasto con la concezione moderna sulle onde luminose.

Una volta che venne accettato il fatto che la luce è un'onda elettromagnetica, divenne chiaro che la frequenza della luce non sarebbe dovuta cambiare da un luogo all'altro, dal momento che le onde emanate da una sorgente a frequenza fissa mantengono la stessa frequenza ovunque. L'unica modo di aggirare questa conclusione sarebbe se il tempo stesso fosse alterato — se gli orologi in punti diversi avessero velocità (rate) differenti.

Questa fu precisamente la conclusione di Einstein nel 1911. Egli prendeva in considerazione una "scatola di accelerazione", e notava che in base alla teoria della relatività ristretta, la velocità dell'orologio sul fondo della scatola era più lenta di quella dell'orologio in cima ad essa. Oggi, ciò può essere facilmente dimostrato nelle coordinate accelerate. Il tensore metrico in unità dove la velocità della luce è una è:


ds^2 = - r^2 dt^2 + dr^2

e per un osservatore a un valore costante di r, la velocità (rate) in cui un orologio ticchetta, R(r), è la radice quadrata del coefficiente di tempo, R(r)=r. L'accelerazione alla posizione r è uguale alla curvatura dell'iperbole a r fisso, e come la curvatura dei cerchi annidati nelle coordinate polari, essa è uguale a 1/r.

Così per un valore fisso di g, il tasso di variazione frazionaria del mutamento della velocità dell'orologio, la variazione percentuale nel ticchettio in cima alla scatola di accelerazione rispetto a quello in basso, è:


{R(r+dr) - R(r) \over R} = {dr\over r} = g dr

Il tasso è più veloce per valori più grandi di R, lontano dalla direzione apparente dell'accelerazione. Il tasso è zero per r=0, che è la posizione dell'orizzonte di accelerazione.

Usando il principio di equivalenza, Einstein concludeva che la stessa cosa vale in qualsiasi campo gravitazionale, che la velocità (rate) di R orologi a diverse altezze veniva modificata a seconda del campo gravitazionale g. Quando g varia lentamente, dà la velocità (rate) frazionata della variazione dell'andamento del ticchettio. Se il ritmo (rate) del ticchettio è quasi ovunque lo stesso, quello frazionato del cambiamento è lo stesso di quello assoluto del cambiamento, in modo che:


{dR \over dx} = g = - {dV\over dx}

Poiché l'andamento degli orologi e il potenziale gravitazionale hanno la stessa derivata, essi sono gli stessi fino a una costante, scelta per rendere l'andamento dell'orologio all'infinito uguale a 1. Poiché il potenziale gravitazionale all'infinito è zero:


R(x)= 1 - {V(x) \over c^2}

dove la velocità della luce è stata ristabilita per rendere l'adimensionalità del potenziale gravitazionale.

Il coefficiente di dt^2 nel tensore metrico è il quadrato della velocità (rate) dell'orologio, il quale per piccoli valori del potenziale è dato tenendo soltanto il termine lineare:


R^2 = 1 - 2V

e il tensore metrico completo è:


ds^2 = - ( 1 - {2V(r)\over c^2} )c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2

dove di nuovo le c sono state ristabilite. Questa espressione è corretta nella teoria completa della relatività generale, per l'ordine più basso nel campo gravitazionale, e ignorando la variazione dei componenti dello spazio-spazio e spazio-tempo del tensore metrico, il quale influisce solo sugli oggetti in rapido movimento.

Usando questa approssimazione, Einstein riprodusse nel 1909 il valore inesatto newtoniano per la deflessione della luce. Ma dal momento che un raggio di luce è un oggetto in rapido movimento, anche i componenti dello spazio-spazio apportano il loro contributo. Dopo la formulazione nel 1916 della teoria della relatività generale completa, Einstein risolse per le componenti dello spazio-spazio in un'approssimazione post-newtoniana, calcolando la quantità esatta di deflessione luminosa --- il doppio del valore newtoniano. La previsione di Einstein venne confermata da molti esperimenti, a partire dalla spedizione di Arthur Eddington per osservare l'eclissi solare del 1919.

I tassi (rates) di mutamento degli orologi consentono a Einstein di concludere che le onde luiminose mutano frequenza in base al loro moto e la relazione frequenza/energia per i fotoni gli permise di osservare che il fenomeno fosse meglio interpretato come un effetto del campo gravitazionale sulla massa-energia del fotone. Per calcolare i mutamenti in frequenza in un campo gravitazionale quasi statico, solo la componente tempo del tensore metrico è rilevante, e l'approssimazione di ordine inferiore è abbastanza accurata per i pianeti e le stelle ordinarie, che sono molto più grandi del loro raggio di Schwarzschild.

Cose importanti da sottolineare[modifica | modifica sorgente]

  • La fine della ricezione della trasmissione della luce deve essere collocata a un potenziale gravitazionale maggiore in modo che venga osservato lo spostamento verso il rosso gravitazionale. In altre parole, l'osservatore deve trovarsi al di "sopra" (uphill) della sorgente. Se l'osservatore è a un potenziale gravitazionale inferiore rispetto alla fonte, può invece osservare uno spostamento verso il blu gravitazionale.
  • I test fatti in molte università continuano a sostenere l'esistenza dello spostamento verso il rosso gravitazionale.[2]
  • Lo spostamento verso il rosso gravitazionale non è solo previsto dalla relatività generale. Altre teorie riguardanti la gravitazione richiedono lo spostamento verso il rosso gravitazionale, sebbene le loro spiegazioni dettagliate, del perché questo accade, variano. [senza fonte] (Ogni teoria che comprende la conservazione dell'energia e l'equivalenza massa-energia deve includere lo spostamento verso il rosso gravitazionale.)

Prima verifica[modifica | modifica sorgente]

Un certo numero di sperimentatori inizialmente affermavano di aver individuato l'effetto usando misurazioni astronomiche, e alla fine l'effetto si ritenne di averlo individuato nelle linee spettrali della stella Sirio B da W.S. Adams nel 1925. Tuttavia, le misurazioni dell'effetto prima degli anni '60 sono state criticate (per es., da C.M. Will), e l'effetto viene adesso considerato definitivamente accertato dagli esperimenti di Pound, Rebka e Snider effettuati tra il 1959 e il 1965.

L'esperimento di Pound-Rebka del 1959 misurava lo spostamento verso il rosso gravitazionale nelle linee spettrali usando una sorgente terrestre di raggi gamma di 57Fe. Questo è stato documentato dagli scienziati del Laboratorio di fisica all'Università di Harvard. Una verifica sperimentale comunemente citata è l'esperimento di Pound-Snider del 1965.

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prove della relatività generale.

Applicazione[modifica | modifica sorgente]

Lo spostamento verso il rosso gravitazionale è studiato in molte aree della ricerca astrofisica.

Soluzioni esatte[modifica | modifica sorgente]

Una tabella di soluzioni esatte delle equazioni di campo di Einstein è la seguente:

Non-rotante Rotante
Senza carica Schwarzschild Kerr
Con carica Reissner-Nordström Kerr-Newman

L'esatta equazione usata più spesso per lo spostamento verso il rosso gravitazionale si applica nel caso estremo di una massa senza carica, non-rotante e sfericamente simmetrica. L'equazione è:

z=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2GM}{rc^2}\right)}}-1, dove

Spostamento verso il rosso gravitazionale rispetto alla dilatazione temporale gravitazionale[modifica | modifica sorgente]

Quando si usano le relazioni del effetto Doppler relativistico della relatività ristretta per calcolare il mutamento in energia e frequenza (ipotizzando che non vi sia la complicazione di nessun effetto dipendente dal percorso come quello causato dall'effetto di trascinamento, o frame-dragging [3], di buchi neri rotanti), allora lo spostamento verso il rosso gravitazionale e i rapporti di frequenza dello spostamento verso il blu sono l'inverso di ogni altro, suggerendo che il mutamento di frequenza "osservata" corrisponde alla effettiva differenza nella velocità di clock sottostante. Potrebbe entrare in gioco la dipendenza dal percorso dovuta al effetto di trascinamento, la quale inficierebbe quest'idea complicando il processo che determina le differenze globalmente concordate nella sottostante frequenza di clock.

Mentre lo spostamento verso il rosso gravitazionale si riferisce a ciò che viene osservato, la dilatazione temporale gravitazionale si riferisce alla deduzione di quello che "veramente" succede una volta che gli effetti di osservazione vengano presi in considerazione.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Vedi per esempio l'equazione 29.3 di "Gravitazione" di Misneri, Thorne e Wheeler.
  2. ^ (EN) Gravitational Red Shift. URL consultato il 07-05-2010.
  3. ^ Il frame dragging è [...] il trascinamento dello spazio-tempo causato dalla rotazione di un corpo celeste (pianeti, stelle, buchi neri, ecc.) attorno al suo asse.

Fonti[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) R.V. Pound and G.A. Rebka, Jr. "Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance" Phys. Rev. Lett. 3 439–441 (1959)
  • (EN) R.V. Pound and J.L. Snider "Effect of gravity on gamma radiation" Phys. Rev. 140 B 788–803 (1965)
  • (EN) R.V. Pound, "Weighing Photons" Classical and Quantum Gravity 17 2303–2311 (2000)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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