Campo vettoriale di Killing

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In matematica, un campo vettoriale di Killing è un campo vettoriale su una varietà riemanniana (o pseudo-riemanniana) che preserva la metrica. I campi di Killing sono i generatori infinitesimali delle isometrie.

I vettori di Killing sono chiamati così in onore di Wilhelm Killing.

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Un campo vettoriale X si dice campo di Killing se la derivata di Lie della metrica g lungo X è nulla:

\mathcal{L}_{X} \, g = 0 \,.

In una varietà n-dimensionale, esistono al più n(n+1)/2 vettori di Killing indipendenti.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

In \R^2 con la metrica ds^2 = dx^2 + dy^2, esistono 3 vettori di Killing, che corrispondono alle due traslazioni lungo gli assi coordinati e alla rotazione rispetto all'origine.

Nella 2-sfera con la metrica ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2, esistono 3 vettori di Killing, che corrispondono alle rotazioni nello spazio.

In generale, i vettori di Killing chiudono un'algebra di Lie, e le isometrie da essi generate formano un gruppo. Nella 2-sfera, si ha il gruppo SU(2), mentre nello spaziotempo con la metrica di Minkowski si ha il gruppo di Poincaré.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Jost, Jurgen, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlino, Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-42627-2.
  • Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem, capitoli 3 e 9 in Introduction to General Relativity, 2ª ed., New York, McGraw-Hill, 1975, ISBN 0-07-000423-4.
  • Charles W Misner, Kip S Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W H Freeman and Company, 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
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