Esperimento di Cavendish

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L'esperimento di Cavendish, eseguito negli anni 1797-1798 dallo scienziato britannico Henry Cavendish, è stato il primo esperimento a misurare la forza di gravità tra masse in laboratorio,[1] e il primo a ottenere valori accurati per la costante gravitazionale.[2][3] A causa delle convenzioni sulle unità di misura in uso allora, la costante gravitazionale non figura in modo esplicito nel lavoro di Cavendish. Invece, il risultato venne originariamente espresso come gravità specifica della Terra,[4] o, in modo equivalente, come massa della Terra; furono i primi valori accurati per queste costanti geofisiche. L'esperimento era stato escogitato qualche tempo prima del 1783[5] dal geologo John Michell[6] che, a tal scopo, aveva costruito una bilancia di torsione. Tuttavia, Michell morì nel 1793 senza aver completato il lavoro e, dopo la sua morte, l'apparecchio passò a Francis John Hyde Wollaston e poi a Henry Cavendish, che ricostruì l'apparecchio, attenendosi al piano originale di Michell. Cavendish poi effettuò una serie di misurazioni con l'apparecchiatura e ne riferì i risultati nel Philosophical transactions of the Royal Society nel 1798.[7]

L'esperimento[modifica | modifica sorgente]

L'apparecchio costruito da Cavendish era una bilancia di torsione fatta di un'asta di legno lunga 1,8 m tenuta sospesa da un filo, con due sfere di piombo (diametro 51 mm, peso 0,73 kg) attaccate ad ogni estremità. Due sfere di piombo (diametro 300 mm, peso 158 kg) erano situate vicino a quelle più piccole, a circa 23 cm di distanza, ed erano tenute in posizione da un sistema di sospensione indipendente.[8] L'esperimento misurò la debole attrazione gravitazionale tra le sfere piccole e quelle più grandi.

Sezione verticale della bilancia di torsione di Cavendish all'interno della costruzione in cui era collocata. Le sfere grandi erano appese ad un telaio, così da poter essere posizionate accanto alle sfere piccole dall'esterno tramite una puleggia. Figura 1 degli scritti di Cavendish.
Particolare che mostra il braccio della bilancia di torsione (m), la sfera grande (W), quella piccola (x) e la scatola di isolamento (ABCDE).

Le due sfere grandi erano posizionate sui lati opposti del braccio orizzontale di legno della bilancia. La mutua attrazione con le sfere piccole faceva ruotare il braccio, causando la torsione del filo che lo sosteneva. Il braccio cessava di ruotare dopo aver raggiunto un angolo per cui la forza di torsione del filo era bilanciata dalla forza gravitazionale combinata di attrazione tra le sfere grandi e quelle piccole. Misurando l'angolo dell'asta e conoscendo la forza di torsione (il momento meccanico) del filo per un dato angolo, Cavendish fu in grado di determinare la forza tra le coppie di masse. Poiché la forza gravitazionale della Terra sulla sfera piccola può essere misurata direttamente pesandola, il rapporto tra le due forze permetteva di calcolare la densità della Terra utilizzando la legge di gravitazione universale.

Cavendish trovò che la densità della Terra era 5,448 ± 0,033 volte quella dell'acqua (a causa di un semplice errore di aritmetica, scoperto nel 1821 da F. Baily, nel suo articolo appare il valore errato di 5,48 ± 0,038).[9]

Per trovare il coefficiente di torsione del filo (il momento meccanico esercitato dal filo per un dato angolo di torsione), Cavendish cronometrò il periodo di oscillazione naturale dell'asta della bilancia mentre ruotava lentamente in senso orario e antiorario contro la torsione del filo. Il coefficiente di torsione poteva essere calcolato dal periodo (20 minuti circa), dalla massa e dalle dimensioni della bilancia. Cavendish doveva misurare l'angolo di deviazione dell'asta mentre oscillava, in quanto essa non era mai a riposo.[10]

L'apparecchiatura di Cavendish si dimostrò notevolmente sensibile per l'epoca.[9] La forza in gioco nella bilancia di torsione era molto piccola, 1,74 x 10-7 N,[11] 1/50.000.000 circa del peso delle sfere piccole[12] o approssimativamente il peso di un grosso granello di sabbia.[13] Per evitare che correnti d'aria e variazioni di temperatura potessero interferire con le misurazioni, Cavendish aveva collocato l'intera apparecchiatura in una scatola di legno di 0,61 m circa di spessore, 3,0 m di altezza e 3,0 m di larghezza, il tutto in un capanno chiuso all'interno della sua proprietà. Attraverso due fori nelle pareti del capanno, Cavendish utilizzava un telescopio per osservare il movimento (di circa 4 mm[14]) dell'asta orizzontale della bilancia. Cavendish era in grado di misurare questa piccola deflessione con una precisione migliore di un centesimo di pollice usando un nonio sulle estremità dell'asta.[15] La precisione di Cavendish non fu superata se non fino all'esperimento di C.V. Boys nel 1895. Col tempo, la bilancia di torsione di Michell è diventata la tecnica principale per misurare la costante gravitazionale (G) , e molte misurazioni contemporanee utilizzano ancora sue varianti.

Determinazione di G e della massa della Terra[modifica | modifica sorgente]

Per le definizioni dei termini, vedere il disegno sotto e la tabella alla fine di questa sezione.

Il seguente non è il metodo utilizzato da Cavendish, ma mostra come i fisici moderni potrebbero usare i suoi risultati.[16][17][18] Dalla legge di Hooke, il momento sul filo di torsione è proporzionale all'angolo di deviazione della bilancia. Il momento è \kappa\theta dove \kappa è il coefficiente di torsione del filo. Tuttavia, il momento può anche essere scritto come prodotto delle forze di attrazione tra le sfere e la distanza dal filo di sospensione. Poiché ci sono due coppie di sfere, ciascuna sottoposta una forza F ad una distanza L / 2 dall'asse della bilancia, il momento è LF. Uguagliando le due formule per il momento meccanico, si ottiene:

\kappa\theta\ = LF \,

Per F, la legge di gravitazione universale è usata per esprimere la forza di attrazione tra le sfere grandi e quelle piccole:

Schema della bilancia di torsione
F = \frac{G m M}{r^2}\,

Sostituendo F nella prima equazione sopra, si ha

\kappa\theta\ = L\frac{GmM}{r^2} \qquad\qquad\qquad(1)\,

Per trovare il coefficiente di torsione (\kappa\,) del filo, Cavendish misurò il periodo di oscillazionerisonante naturale T della bilancia di torsione:

T = 2\pi\sqrt{I/\kappa}

Trascurando la massa dell'asta di torsione stessa, il momento di inerzia della bilancia è dovuto solo alle sfere piccole:

I = m(L/2)^2 + m(L/2)^2 = 2m(L/2)^2 = mL^2/2\,,

e così:

T = 2\pi\sqrt{\frac{mL^2}{2\kappa}}\,

Risolvendo questo per \kappa, sostituendo nella (1), e riordinando per G, il risultato è:

G = \frac{2 \pi^2 L r^2}{M T^2} \theta\,

Una volta che G è stato trovato, l'attrazione di un oggetto sulla superficie della Terra verso la Terra stessa può essere utilizzata per calcolare la massa della Terra e la sua densità:

mg = \frac{GmM_{Terra}}{R_{Terra}^2}\,
M_{Terra} = \frac{gR_{Terra}^2}{G}\,
\rho_{Terra} = \frac{M_{Terra}}{4 \pi R_{Terra}^3/3} = \frac{3g}{4 \pi R_{Terra} G}\,
Simbolo Unità di misura Definizione
\theta\, \mbox{rad}\, Deviazione dell'asta della bilancia di torsione dalla posizione di riposo
F\, \mbox{N}\, Forza gravitazionale tra le masse M ed m
G\, \mbox{m}^3 {\mbox{kg}}^{-1} \mbox{s}^{-2}\, Costante Gravitazionale
m\, \mbox{kg}\, Massa della sfera di piombo piccola
M\, \mbox{kg}\, Massa della sfera di piombo grande
r\, \mbox{m}\, Distanza tra i centri delle sfere grandi e piccole quando l'asta viene deviata
L\, \mbox{m}\, Lunghezza dell'asta della bilancia di torsione tra i centri delle sfere piccole
\kappa\, \mbox{N}\,\mbox{m}\,\mbox{rad}^{-1}\, Coefficiente di torsione del filo di sospensione
I\, \mbox{kg}\,\mbox{m}^2\, Momento d'inerzia dell'asta della bilancia di torsione
T\, \mbox{s}\, Periodo di oscillazione della bilancia di torsione
g\, \mbox{m}\,\mbox{s}^{-2}\, Accelerazione di gravità sulla superficie della Terra
M_{Terra}\, \mbox{kg}\, Massa della Terra
R_{Terra}\, \mbox{m}\, Raggio della Terra
\rho_{Terra}\, \mbox{kg}\,\mbox{m}^{-3}\, Densità della Terra

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Boys 1894 p. 355
  2. ^ Encyclopædia Britannica 1910 p. 385 'L'obiettivo [di esperimenti come quello di Cavendish] possono essere considerati sia come la determinazione della massa della Terra,...opportunamente espressa...come la sua "densità media", oppure come la determinazione della "costante gravitazionale", G'. L'esperimento di Cavendish viene oggi generalmente descritto come una misurazione di G (Clotfelter 1987 p. 210).
  3. ^ Parecchie fonti dichiarano erroneamente che questa era la prima misurazione di G (o della densità della Terra), come Richard P. Feynman, Lectures on Physics, Vol.1, Addison-Wesley, 1963, pp. 6–7, 0-201-02116-1.. C'erano state precedenti misurazioni, soprattutto Bouguer (1740) e Maskelyne (1774), che però si erano rivelate molto imprecise (Poynting 1894)(Encyclopædia Britannica 1910).
  4. ^ Clotfelter 1987, p. 210
  5. ^ McCormmach & Jungnickel 1996, p.336: Una lettera del 1783 di Cavendish a Michell contiene '...il primo cenno al peso del mondo'. Non è chiaro se 'il primo cenno' si riferisce a Cavendish o a Michell.
  6. ^ Cavendish 1798, p. 59 Cavendish attribuisce a Michell il merito di aver escogitato l'esperimento
  7. ^ Cavendish, H. 'Experiments to determine the Density of the Earth', Philosophical Transactions of the Royal Society of London, (part II) 88 p.469-526 (21 June 1798), reprinted in Cavendish 1798
  8. ^ Cavendish 1798, p.59
  9. ^ a b Poynting 1894, p.45
  10. ^ Cavendish 1798, p.64
  11. ^ Boys 1894 p.357
  12. ^ Cavendish 1798 p. 60
  13. ^ Un granello di sabbia di 2 mm pesa ~13 mg. Marina Theodoris, Mass of a Grain of Sand, 2003.
  14. ^ Cavendish 1798, p. 99
  15. ^ Cavendish 1798, p.63
  16. ^ Experiment, Harvard Lecture Demonstrations, Harvard Univ.
  17. ^ Poynting 1894, p.41
  18. ^ Clotfelter 1987 p.212 spiega il metodo originale di calcolo di Cavendish

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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