Termodinamica dei buchi neri

La termodinamica del buco nero è l'area di studio che cerca di riconciliare le leggi della termodinamica con l'esistenza dell'orizzonte degli eventi del buco nero. Per quanto lo studio della meccanica statistica della radiazione del corpo nero condusse alla teoria della meccanica dei quanti, lo sforzo di capire la meccanica statistica dei buchi neri ha avuto un profondo impatto sulla comprensione della gravità quantistica, portando alla formulazione del principio olografico.

Una rappresentazione artistica della fusione di due buchi neri, un processo nel quale vengono conservate le leggi della termodinamica.

Entropia del buco nero

L'entropia del buco nero è l'entropia determinata da un buco nero.

Se i buchi neri non comportassero entropia, sarebbe possibile violare la seconda legge della termodinamica proiettando massa dentro il buco nero. Il solo modo per soddisfare la seconda legge è di ammettere che i buchi neri hanno entropia la quale aumenta più che compensare per il decremento dell'entropia portata dall'oggetto inghiottito.

Partendo da teoremi dimostrati da Stephen Hawking, Jacob Bekenstein congetturò che l'entropia del buco nero fosse proporzionale all'area del suo orizzonte degli eventi divisi dall'area di Planck. Più tardi, Stephen Hawking mostrò che i buchi neri emettono radiazioni di Hawking termiche corrispondenti a una certa temperatura (temperatura di Hawking). Usando la relazione della termodinamica tra energia, temperatura ed entropia, Hawking fu capace di confermare la congettura di Bekenstein, fissando la costante di proporzionalità a 1/4:

$S_{BH} = \frac{ k_B A}{4\ell_{\mathrm{P}}^2}$

dove $k_B$ è la costante di Boltzmann, e $\ell_{\mathrm{P}}=\sqrt{G\hbar / c^3}$ è la lunghezza di Planck. L'entropia del buco nero è proporzionale alla sua area $A$. Il fatto che l'entropia del buco nero sia anche l'entropia massimale che può essere spremuta dentro un volume predefinito fu la principale osservazione che condusse al principio olografico. La sigla BH sta sia per "buco nero" che per "Bekenstein-Hawking".

Sebbene i calcoli di Hawking portassero ad un ulteriore evidenza termodinamica per l'entropia del buco nero, fino al 1995 nessuno fu capace di fare un calcolo controllato dell'entropia del buco nero basato sulla meccanica statistica, la quale associa l'entropia a un vasto numero di microstati. Infatti, i cosiddetti "teoremi dell'essenzialità" apparvero per suggerire che i buchi neri potrebbero avere solo un singolo microstato. La situazione cambiò nel 1995 quando Andrew Strominger e Cumrun Vafa calcolarono l'esatta entropia di Bekenstein-Hawking di un buco nero supersimmetrico nella teoria della corda, usando metodi basati sui D-branes. Il loro calcolo fu seguito da molti similari calcoli di entropia di ampie classi di altri buchi neri estremi e quasi estremi, e il risultato concordava sempre con la formula di Bekenstein-Hawking.

La gravità quantistica a loop (LQG), vista come la principale concorrente della teoria delle stringhe, propose anche un calcolo leggermente più euristico dell'entropia del buco nero. Questo calcolo conferma che l'entropia è proporzionale all'area della superficie, con la costante proporzionalmente dipendente dal solo parametro libero in LQG, parametro di Immirzi.

Le leggi della meccanica del buco nero

Le quattro leggi della meccanica del buco nero sono proprietà fisiche che i buchi neri sono capaci di soddisfare. Le leggi, analoghe alle leggi della termodinamica, furono scoperte da Brandon Carter, Stephen Hawking e James Bardeen.

Esposizione delle leggi

Le leggi della meccanica del buco nero sono espresse in unità geometrizzate.

Legge zero

L'orizzonte ha una gravità di superficie costante per un buco nero stazionario.

Prima legge

Abbiamo

$dM = \frac{\kappa}{8\pi}\,dA+\Omega\, dJ+\Phi\, dQ,$

dove $M$ è la massa, $A$ è l'area dell'orizzonte, $\Omega$ è la velocità angolare, $J$ è il momento angolare, $\Phi$ è il potenziale elettrico, $\kappa$ è la gravità di superficie e $Q$ è la carica elettrica.

Seconda legge

L'area dell'orizzonte è, assumendo la debole condizione di energia, una funzione non-decrescente di tempo ,

$dA \geq 0$

Terza legge

Non è possibile formare un buco nero con una gravità di superficie che vada a zero; non è possibile da ottenere $\kappa = 0$ .

Discussione delle leggi

Legge zero

La legge zero è analoga al principio zero della termodinamica il quale asserisce che la temperatura è costante per tutto il corpo in equilibrio termico. Essa suggerisce che la gravità di superficie è analoga alla temperatura.

La costante T per l'equilibrio termico di un normale sistema è analoga alla costante $\kappa$ sull'orizzonte del buco nero stazionario.

Prima legge

Il termine sul lato di sinistra, il dM, è il cambiamento in massa/energia. Sebbene il primo termine sul lato destro non ha immediatamente un'ovvia interpretazione fisica, il secondo e il terzo termine rappresentano i cambiamenti in energia dovuti alla rotazione e all'elettromagnetismo. Analogamente, la prima legge della termodinamica è un'affermazione sulla conservazione dell'energia, che contiene sul lato destro il termine T dS.

Seconda legge

La seconda legge è l'enunciazione del teorema dell'area di Hawking. Analogamente, la seconda legge della termodinamica dichiara che l'entropia di un sistema isolato è una funzione non-decrescente del tempo, suggerendo un legame fra entropia e l'area dell'orizzonte di un buco nero. Questa versione, comunque, viola la seconda legge della termodinamica per la materia che perde (la sua) entropia come vi cade dentro, portando un aumento d'entropia. Generalizzata la seconda legge introduce come entropia totale = entropia del buco nero + entropia esterna.

Terza legge

I buchi neri estremi hanno gravità di superficie evanescente. Precisando che $\kappa$ non può andare a zero, è analoga alla terza legge della termodinamica la quale, nella sua debole formulazione, afferma che è impossibile raggiungere la temperatura dello zero assoluto in un processo fisico. La versione forte della terza legge della termodinamica, la quale afferma che come la temperatura si avvicina allo zero, anche l'entropia si avvicina a zero, non ha una legge analoga per i buchi neri. Ad ogni modo, la versione forte viene ad essere violata da molti sistemi conosciuti nella fisica della materia condensata, ed è dunque stata rigettata come legge.

Interpretazioni delle leggi

Le quattro leggi della meccanica del buco nero suggeriscono che si può identificare la gravità di superficie di un buco nero con la temperatura e l'area dell'orizzonte degli eventi con l'entropia, a meno di alcune costanti moltiplicative. Se si considerano classicamente i buchi neri, allora essi hanno temperatura zero e, per il teorema dell'essenzialità, entropia zero, e le leggi della meccanica del buco nero restano un'analogia. Comunque, quando gli effetti meccanici dei quanti sono presi in considerazione, si crede che il buco nero emetta radiazione termica (radiazione di Hawking) alla temperatura

$T_H = \frac{\kappa}{2\pi}$.

dove $\kappa$ è la gravità di superficie. Dalla prima legge della meccanica del buco nero, ciò determina la costante moltiplicativa dell'entropia di Bekenstein-Hawking la quale è

$S_{BH} = \frac{A}{4}$.

Oltre i buchi neri

Hawking e Page mostrarono che la termodinamica del buco nero è molto più generale dei buchi neri, che gli orizzonti dell'evento cosmologico hanno anche un'entropia e temperatura.

Più fondamentalmente, 't Hooft e Susskind utilizzano le leggi della termodinamica del buco nero per dimostrare un generale Principio olografico della natura, nel quale asserisce che teorie consistenti di gravità e meccanica quantistica debbano essere di dimensioni più basse. Sebbene non ancora completamente compreso in generale, il principio olografico ha condotto soltanto a teorie complete della gravità quantistica, come la corrispondenza AdS/CFT.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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Voci correlate

• Jacob Bekenstein
• Stephen Hawking
• Gravità di superficie
• Radiazione di Hawking

Collegamenti esterni

• (EN) Black Hole Thermodynamics
• (EN) Black hole entropy on arxiv.org

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