Propagatore

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In meccanica quantistica e in teoria quantistica dei campi, il propagatore fornisce l'ampiezza di probabilità che una particella viaggi da un luogo ad un altro in un dato tempo, ovvero anche con una certa energia e momento. Il propagatore può essere visto come l'inverso dell'operatore d'onda appropriato per la particella e per questo è spesso chiamato funzione di Green.

Nelle teorie in cui sono presenti dei campi in interazione, il propagatore è esprimibile tramite una rappresentazione spettrale, detta di Kallen-Lehmann, che contiene un termine proporzionale alla funzione di Green dell'equazione in assenza di interazioni, con un polo legato alla massa fisica della particella del campo e che descrive quindi la propagazione di una singola particella, e un termine senza poli che descrive i contributi al propagatore dati da stati a più particelle, con una massa invariante maggiore di quella della particella del campo.

Si noti che nel calcolo delle ampiezze dei processi fisici i propagatori sono integrati su tutto lo spazio-tempo; ciò implica che, almeno su corte distanze, esistono ampiezze di probabilità per la propagazione di particelle da un qualunque punto dello spazio-tempo a qualunque altro. All'aumentare della distanza i contributi che dominano sono naturalmente quelli di tipo tempo per le particelle massive e quelli di tipo luce per le particelle a massa nulla.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Nella meccanica quantistica non relativistica il propagatore fornisce la probabilità che una particella che si trova in un punto x dello spazio al tempo t, arrivi in un altro punto x' al tempo t'. È la funzione di Green dell'equazione di Schrödinger. Questo significa che se un sistema ha hamiltoniana H, il propagatore è una funzione K(x,t;x't') tale che:

\left( H_x - i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \right) K(x,t;x',t') = -i\hbar \delta(x-x')\delta(t-t')

dove H_x denota l'hamiltoniana scritta in funzione delle coordinate x e \delta(x,x') è la delta di Dirac.
Il propagatore può anche essere espresso come:

K(x,t;x',t') = \langle x | \hat{U}(t,t') | x'\rangle = \langle x t | x' t'\rangle\

dove \hat{U}(t,t') è l'operatore di evoluzione temporale che trasla lo stato dal tempo t a t'.

Integrale sui cammini nella meccanica quantistica non relativistica[modifica | modifica sorgente]

Il propagatore, nella meccanica quantistica, può essere anche ricavato usando l'integrale sui cammini:

K(x,t;x',t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_t^{t'} L(\dot{q},q,t) dt\right] D[q(t)]

dove le condizioni al contorno dell'integrale sui cammini sono q(t)=x, q(t')=x'. L indica la lagrangiana del sistema.

Essendo

 S = \int_{t}^{t'}\; L(q,\dot{q},t)dt

l'azione della lagrangiana, si ottiene

K(x,t;x',t') = \int \exp \left[\frac{i}{\hbar} S[q(t)]\right] D[q(t)]

Essendo l'esponenziale un'autofunzione dell'operatore di integrazione, si può scrivere in definitiva:

 K(x,t;x',t') = N \exp \left[\frac{i}{\hbar} S[q(t)]\right]

dove N è un fattore di normalizzazione.
Nella meccanica quantistica non relativistica il propagatore permette di trovare lo stato del sistema in ogni istante di tempo:

 \psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'

Se K(x,t;x',t') dipende solo dalla differenza x-x', tale integrale è la convoluzione dello stato iniziale e del propagatore.

Elettrodinamica quantistica[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Elettrodinamica quantistica.

Nell'elettrodinamica quantistica bisogna distinguere due propagatori fondamentali, quello dei campi di Dirac e quello dei fotoni. Le funzioni di Green dei due campi sono le seguenti:

iS_{F\alpha \beta}(x-y) = (i\gamma^\mu \partial_\mu +m)_{\alpha \beta} \int \frac{\text{d}^4p}{(2 \pi )^4} \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2+i\varepsilon}=(i\gamma^\mu \partial_\mu +m)_{\alpha \beta} i\Delta_F (x-y;m^2) (fermioni)
iD_F^{\mu \nu} (x-y) = \int \frac{\text{d}^4k}{(2 \pi )^4} e^{-ik(x-y)} \frac{(-g^{\mu \nu} +(1-\xi)\frac{k^\mu k^\nu}{k^2})}{k^2+i\varepsilon}=-g^{\mu \nu} i\Delta_F (x-y;0)+\dots (fotoni)

dove è il quadrato della massa dell'elettrone, i\Delta_F (x-y;m^2) è il propagatore libero di un campo scalare con massa nello spazio diretto, le derivate parziali \partial_\mu agiscono sulla coordinata x, g_{00}=1, g_{ii}=-1, \xi è un parametro libero che permette di fissare la gauge (per esempio \xi=0, la gauge di Landau, oppure \xi=1, la gauge di Feynman), mentre i puntini rappresentano appunto i termini del propagatore che non contribuiscono alle ampiezze fisiche.

I propagatori dei campi in interazione sono convenientemente espressi in termini della rappresentazione spettrale, o di Kallen-Lehman, del propagatore:

\langle 0 |T\{ \psi_\alpha(x) \bar \psi_\beta (y)\} | 0 \rangle = Z_2 iS_{\alpha \beta}(x-y; m^2) + \int \text{d} M^2 \left[ \sigma_1(M^2)i\gamma^\mu \partial_\mu +\sigma_2 (M^2)M \right]_{\alpha \beta} i\Delta_F (x-y;M^2)
\langle 0 |T\{ A^\mu(x) A^{\dagger \nu} (y)\} | 0 \rangle = Z_3 iD_F^{\mu \nu}(x-y; 0) + \int \text{d} M^2 \sigma_3(M^2) iD_F^{\mu \nu} (x-y;M^2) + \dots

In queste formule iS(x-y;m^2) e iD^{\mu \nu}(x-y;0) sono i propagatori dei campi liberi (alla massa dell'elettrone, m², e a massa nulla per il fotone), Z_2 e Z_3 sono le costanti di rinormalizzazione dei campi, mentre \sigma_1, \sigma_2 e \sigma_3 sono le densità spettrali che "pesano" il propagatore ad una massa invariante maggiore di quella della particella libera. I puntini nel propagatore del fotone sono termini eliminabili in virtù della conservazione delle linee fermioniche esterne tra le quali il propagatore dei fotoni è sempre racchiuso nelle ampiezze fisiche. Il propagatore libero viene dai campi in e out, che possono creare dal vuoto solo stati a una particella, mentre le densità spettrali sono legate ai termini di interazione e connettono il vuoto a stati a più particelle.
Ciò spiega la presenza delle costanti di rinormalizzazione: mentre il campo in o out ha probabilità uno di creare uno stato a una particella dal vuoto, il campo in interazione ha una probabilità inferiore di farlo, poiché può creare anche un numero di maggiore di particelle (tramite l'interazione col campo elettromagnetico).

La forma analitica per il propagatore di un fotone, nello spazio degli impulsi e nello spazio vuoto, è:


\frac{-i g_{\mu\nu}}{k^2 + i\varepsilon} ;

con  g_{\mu\nu} ( g_{0 0} = 1 e  g_{i i} = -1 con  i = 1, 2, 3 ) che è il tensore metrico.

I propagatori (liberi) dei fermioni sono indicati con delle linee continue dritte, usualmente con una freccia "in avanti" per i fermioni o "all'indietro" per gli antifermioni; i propagatori dei fotoni nei diagrammi di Feynman vengono tradizionalmente indicati da una linea ondulata. Nelle figure sono rappresentati due esempi di diagrammi di Feynman: nella prima, un diagramma al prim'ordine contenente un propagatore fotonico racchiuso tra due linee esterne fermioniche; nella seconda, un diagramma al second'ordine contenente due propagatori fotonici, due linee esterne fermioniche e un loop di fermioni (formato da due propagatori).

Teoria di Yang e Mills[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoria quantistica di Yang-Mills.

Al fine di fornire una forma analitica per i propagatori dei bosoni vettoriali (valida anche per i bosoni vettori assiali), è importante ricordare che a differenza del caso elettromagnetico, nel quale la massa del fotone è nulla, per un bosone vettore si deve avere un termine di massa  m . Si può dimostrare che il propagatore, nello spazio degli impulsi e nello spazio vuoto, è dato dalla seguente funzione:


G_{\alpha\beta} (k) = i \frac{ ( -g_{\alpha\beta} + \frac{k_\alpha k_\beta}{m^2} ) }{ k^2 - m^2 } .

La funzione  G_{\alpha\beta} (k) genera un bosone vettore al tempo  x'_0  e nella posizione  \textbf{x}' viene distrutta la stessa particella al tempo  x_0  quando si trova in  \textbf{x} e pertanto il nostro bosone vettore si propaga da  \textbf{x}' a  \textbf{x} .

Teoria a molti corpi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teoria a molti corpi.

Nella teoria a molti corpi il propagatore elettronico del sistema non-interagente in uno spazio \mathbf{r} \omega è dato dall' espressione:


G^{(0)}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2;\omega) =
\sum_i \frac{\phi^{(0)}_i(\mathbf{r}_1) \phi^{(0)*}_i(\mathbf{r}_2)}
{\omega - \varepsilon^{(0)}_i + i \eta \sgn \left( \varepsilon^{(0)}_i - \mu \right)
},

dove \varepsilon^{(0)}_i, \phi^{(0)}_i(\mathbf{r}) sono gli autovalori e autofunzioni dell'hamiltoniana H^{(0)} del sistema non-interagente


H^{(0)} \phi^{(0)}_i(\mathbf{r})= \varepsilon^{(0)}\phi^{(0)}_i(\mathbf{r}),

ovverosia in un solido cristallino (H^{(0)} periodica) sono le bande e le funzioni di Bloch, in un atomo sono i livelli e le funzioni d'onda atomiche di particella singola, etc.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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