Operatori di creazione e distruzione

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In fisica, in particolare in meccanica quantistica, un operatore di creazione è un operatore che aumenta di uno il numero di particelle di uno stato quantistico. L'operatore di distruzione o di annichilazione è al contrario un operatore che riduce di uno il numero di particelle di uno stato ed è l'operatore aggiunto dell'operatore di creazione. L'uso di questi operatori è stato introdotto nel caso del problema dell'oscillatore armonico quantistico, dove sono definiti come gli operatori che aggiungono o rimuovono un quanto di energia al sistema. In seguito il loro uso è stato generalizzato a molti altri problemi e in generale la loro introduzione è alla base della fondazione della teoria quantistica dei campi e della seconda quantizzazione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore di creazione \hat{a}^{\dagger} e l'operatore di annichilazione \hat{a} possono essere definiti semplicemente sulla base della loro azione quando sono applicati su uno stato quantico. Supponiamo che |n \rangle sia uno stato quantistico contenente n particelle, o n quanti di energia, allora possiamo assumere come definizione implicita dell'operatore di annichilazione la seguente espressione:

\hat{a} |n \rangle = \sqrt{n}|n-1 \rangle

ovvero l'operatore di annichilazione applicato allo stato con n particelle, ne ha generato un altro che contiene una particella in meno. In modo assolutamente identico si può mostrare che:

\hat{a}^{\dagger} |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle

In questo modo dallo stato fondamentale del sistema, che possiamo - ad esempio nel caso di una teoria di campo delle particelle elementari - identificare con il vuoto, tutti gli altri stati possono essere costruiti applicando l'operatore di creazione:

|n \rangle = (\hat{a}^{\dagger})^{n} |0 \rangle

Oscillatore armonico quantistico[modifica | modifica wikitesto]

Si comprende, quindi, la terminologia introdotta da Dirac nel caso dell'oscillatore armonico quantistico: l'operatore \hat{a} fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n-1, esso, quindi, distrugge un quanto di energia; analogamente l'operatore \hat{a}^{\dagger} fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n+1, esso, quindi, crea un quanto di energia. Noto lo stato fondamentale, si può ottenere, per ricorrenza, tutta la base degli autostati dell'hamiltoniana e di N:

|n \rangle = (\hat{a}^{\dagger})^{n} |0 \rangle

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica wikitesto]

Le componenti matriciali degli operatori bosonici di creazione e annichilazione per l'oscillatore armonico quantistico sono:

a=\begin{pmatrix}
0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \sqrt{n} & \dots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \ddots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}
a^{\dagger}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & \dots & \dots\\
\sqrt{1} & 0 & 0 & \dots & \dots\\
0 & \sqrt{2} & 0 & \dots & \dots\\
0 & 0 & \sqrt{3} & \dots & \dots\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \sqrt{n+1} & 0\dots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\end{array}\right)

Questi valori sono stati ottenuti utilizzando le seguenti relazioni:

a^\dagger_{ij} = \langle\psi_i | \hat{a}^\dagger | \psi_j\rangle

a_{ij} = \langle\psi_i | \hat{a} | \psi_j\rangle

e

 \sqrt{n} = \langle n | \hat{a}^\dagger | n -1 \rangle

 \sqrt{n}= \langle n - 1 | \hat{a} | n \rangle

Operatori di costruzione e distruzione in teoria quantistica dei campi[modifica | modifica wikitesto]

In Teoria quantistica dei campi e nei problemi a molti corpi si lavora con operatori di creazione e distruzione di stati quantistici, a^\dagger_i and a^{\,}_i. Questi operatori cambiano il valore dell'operatore numero,

N = \sum_i n_i = \sum_i a^\dagger_i a^{\,}_i,

di uno, in analogia al caso dell'oscillatore armonico. Gli indici (ad esempio i) rappresentano i numeri quantici che etichettano gli stati di singola particella del sistema e non sono necessariamente numeri singoli. Per esempio, una ennupla di numeri quantici (n, l, m, s) viene usata per etichettare gli stati dell'atomo di idrogeno.

Le relazioni di commutazione degli operatori di creazione e distruzione in un sistema multiplo di bosoni sono,

[a^{\,}_i, a^\dagger_j] \equiv a^{\,}_i a^\dagger_j - a^\dagger_ja^{\,}_i = \delta_{i j},
[a^\dagger_i, a^\dagger_j] = [a^{\,}_i, a^{\,}_j] = 0,

dove [\ \ , \ \ ] è il commutatore è \delta_{i j} la delta di Kronecker.

Per i fermioni, il commutatore è sostituito dall'anticommutatore \{\ \ , \ \ \},

\{a^{\,}_i, a^\dagger_j\} \equiv a^{\,}_i a^\dagger_j +a^\dagger_j a^{\,}_i = \delta_{i j},
\{a^\dagger_i, a^\dagger_j\} = \{a^{\,}_i, a^{\,}_j\} = 0.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley ISBN 0201503972
  • Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 8808178943
  • (EN) Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press
  • (EN) Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications, Cambridge University Press
  • (EN) Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press
  • (EN) C. Itzykson e J. B. Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980/Dover 2006.
  • (EN) N. Bogoliubov e D. Shirkov Introduction to the theory of quantized fields Wiley-Intersceince, 1959.
  • L. D. Landau, E. Lifsits, V. Berestetskij e L. Pitaevskij Fisica teorica, vol. 4: Teoria quantistica relativistica (Editori Riuniti, 1978)
  • G, Mussardo,Il Modello di Ising. Introduzione alla Teoria dei Campi e delle Transizioni di Fase (Bollati-Boringhieri, 2007)
  • (EN) Robin Ticciati (1999): Quantum Field Theory for Mathematicians, Cambridge University Press
  • (EN) F. Mandl e G. Shaw. Quantum Field Theory. John Wiley & Sons, 1993.
  • (EN) F. Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. Wiley-Interscience, 1993.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]