Ferromagnetismo

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Caratteristico allineamento ordinato dei dipoli magnetici in presenza di un campo magnetico esterno.

Il ferromagnetismo è la proprietà di alcuni materiali, detti materiali ferromagnetici, di magnetizzarsi molto intensamente sotto l'azione di un campo magnetico esterno e di restare a lungo magnetizzati quando il campo si annulla, diventando così magneti. Questa proprietà si mantiene solo al di sotto di una certa temperatura, detta temperatura di Curie, al di sopra della quale il materiale si comporta come un materiale paramagnetico. Per il ferro, ad esempio, questa temperatura è di circa 770 °C.

Nei materiali ferromagnetici la permeabilità magnetica relativa del materiale non è costante al variare dei campi, come invece avviene nei materiali diamagnetici e nei materiali paramagnetici: la relazione tra il campo di induzione magnetica ed il campo magnetico non è quindi lineare, e nemmeno univoca.[1] Il metodo di trovare le relazioni tra questi vettori è un metodo grafico e la legge seguita dall'andamento del campo magnetico segue il ciclo di isteresi.

Sono materiali ferromagnetici la magnetite, il ferro,[2] il cobalto, il nichel, numerosi metalli di transizione e le loro rispettive leghe.

Ciclo di isteresi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Ciclo di isteresi.
Ciclo di isteresi per materiali ferromagnetici

I materiali ferromagnetici sono caratterizzati da un particolare andamento \mathbf B = \mathbf B(\mathbf H) del campo magnetico in funzione del vettore di induzione magnetica. La relazione che li lega è scalare in un materiale isotropo, dal momento che in tal caso i campi assumono la medesima direzione (ma non necessariamente lo stesso verso). La rappresentazione grafica di tale funzione è detta ciclo di isteresi.[1]

A partire dal momento in cui i campi sono nulli, e dunque è nulla la magnetizzazione del materiale, il campo magnetico aumenta seguendo la curva OH_m, detta curva di prima magnetizzazione, fino al valore massimo di H_m in cui \mathbf B aumenta proporzionalmente a \mu_0 \mathbf H. In tali condizioni \mathbf M raggiunge il suo valore massimo, detto valore di saturazione.

Diminuendo la corrente, diminuisce di conseguenza \mathbf H, senza tuttavia ripercorrere la stessa curva, ma la curva H_m B_r. Per \mathbf H = 0 risulta quindi che il campo magnetico non ritorna ad avere un valore nullo, ma acquista un'intensità pari a |\mathbf B | = B_r > 0. Tale valore è detto magnetizzazione residua:

M_r = \frac {B_r}{\mu_0}

Il materiale mantiene quindi una proprietà magnetica anche senza la presenza di un campo magnetico esterno.

Invertendo la corrente, inoltre, \mathbf H e \mathbf M diventano negativi, e quando il campo magnetico è nullo si ha |\mathbf H | = -H_c. Tale valore è detto campo di coercizione.

Infine, diminuendo ulteriormente \mathbf H, anche \mathbf B diventa negativo fino al valore - H_m in cui di nuovo i campi sono proporzionali e la magnetizzazione arriva al minimo assoluto. Ricominciando ad aumentare \mathbf H, si ha il ciclo chiuso.

La permeabilità magnetica in un dato punto della curva:

\mu = \frac {|\mathbf B|}{|\mathbf H|}

è pertanto determinabile a partire dalla relazione fra i campi, specificando a quale curva del ciclo di isteresi appartiene. Tale grandezza dipende quindi dalla "storia" del materiale, e perde sostanzialmente di significato nella caratterizzazione del materiale. Ogni materiale ferromagnetico segue il ciclo di isteresi: per cicli che via via sono più stretti il ciclo di isteresi si restringe via via fino a ritornare a zero. Questo significa che è possibile "smagnetizzare" il materiale ferromagnetico e riportarlo alla condizione iniziale in cui \mathbf H = \mathbf B = \mathbf M = 0.[1]

Materiali ferromagnetici cristallini e corrispondenti
temperature di Curie in kelvin[3]
Materiale temp. Curie (K)
Co 1388
Fe 1043
FeOFe2O3* 858
NiOFe2O3* 858
CuOFe2O3* 728
MgOFe2O3* 713
MnBi 630
Ni 627
MnSb 587
MnOFe2O3* 573
Y3Fe5O12* 560
CrO2 386
MnAs 318
Gd 292
Dy 88
EuO 69

Metodo di misura dei campi[modifica | modifica sorgente]

Il metodo descritto dal ciclo di isteresi è quello di misurare il campo di induzione magnetica \mathbf B in funzione del campo magnetico \mathbf H.[4] Si consideri un anello di materiale ferromagnetico di sezione A e raggio R costanti, avvolto da N spire percorse da corrente continua I. In questa situazione i campi sono circolari entro l'anello e sono trascurabili al di fuori di esso. In questo modo si calcola il valore di \mathbf H tramite il teorema di Ampere:[1]

\oint_{\partial S} \mathbf H \cdot d\mathbf l = N \ I

e, poiché l'anello è assimilabile ad una circonferenza, l'integrale risulta:

H \cdot 2\pi R = N \ I

da cui:

 H = \frac {N \ I}{2\pi R}

Nota la permeabilità magnetica relativa del materiale \mu_r, è possibile calcolare il campo di induzione magnetica:

B = \mu_0 \mu_r \ H = \mu \ H

Questo sistema è quello che si usa in pratica per misurare i due campi, al variare dell'intensità di corrente, dal momento che:

H \cdot 2\pi R = N \ I

Una volta misurati \mathbf H e \mathbf B si può trovare il valore corrispondente di \mathbf M:[4]

\mathbf H = \frac {\mathbf B - \mu_0 \mathbf M}{\mu_0}

Attraverso tale procedura è possibile ricavare sperimentalmente la curva di magnetizzazione, ovvero l'andamento del campo magnetico in funzione del vettore di induzione magnetica, e dunque il ciclo di isteresi.

Legge di Curie-Weiss[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Temperatura di Curie.

Pierre Curie fu il primo a scoprire che esiste una temperatura critica per ogni materiale ferromagnetico al di sopra della quale il materiale si comporta come paramagnetico. La suscettività magnetica segue la legge di Curie-Weiss:

\chi_m = \frac {C \ \rho}{T - T_c}

dove C è una costante caratteristica del materiale, \rho è la densità e T_c la temperatura di Curie in kelvin.

Modelli teorici[modifica | modifica sorgente]

Il ferromagnetismo rappresenta uno dei principali problemi aperti della fisica dello stato solido, anche se esistono essenzialmente due modelli teorici che riescono a descriverlo: il modello di Ising e il modello di Weiss, basati entrambi sull'hamiltoniana di Werner Karl Heisenberg, che tuttavia utilizzano grosse approssimazioni.

Hamiltoniana di Heisenberg[modifica | modifica sorgente]

L'Hamiltoniana per una coppia di elettroni appartenenti ad atomi vicini è:

 H = H_{1} + H_{2} + V_{12} \

dove H_{1} e H_{2} sono le hamiltoniane dei singoli elettroni, e V_{12} l'interazione fra i due.
Per il Principio di Pauli, la funzione d'onda complessiva deve essere antisimmetrica, e quindi vi sono due possibilità:

 \varphi_{A}=\psi_{S}(\mathbf r_{1} , \mathbf r_{2}) \chi_{A}(\mathbf \sigma_{1} , \mathbf \sigma_{2})

oppure

 \varphi_{A}=\psi_{A}(\mathbf r_{1} , \mathbf r_{2}) \chi_{S}(\mathbf \sigma_{1} , \mathbf \sigma_{2})

dove il pedice A o S sta ad indicare una funzione antisimmetrica/simmetrica.

Le funzioni d'onda di spin per una coppia di elettroni sono:

\chi_{S}: 
\left\{
\begin{matrix}
|++\rangle \qquad [\mathbf s_{z} = 1]\\
\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-\rangle + |-+\rangle) \quad [\mathbf s_{z} = 0]\\
|--\rangle \qquad [\mathbf s_{z} = -1]\\
\end{matrix}
\right.
\chi_{A}:
\frac{1}{\sqrt{2}}(|+-\rangle - |-+\rangle) \quad [\mathbf s_{z} = 0]

Le funzioni d'onda spaziali sono:

 \psi_{S}:
\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{1}(\mathbf r_{1})\psi_{2}(\mathbf r_{2})+\psi_{1}(\mathbf r_{2})\psi_{2}(\mathbf r_{1}))
\psi_{A}:
\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{1}(\mathbf r_{1})\psi_{2}(\mathbf r_{2})-\psi_{1}(\mathbf r_{2})\psi_{2}(\mathbf r_{1}))

Effettuando il calcolo perturbativo su queste funzioni d'onda si ottiene:


E=
\left\{
\begin{matrix}
E_{0}+J \quad \rightarrow \quad \varphi_{1}=\psi_{S}\chi_{A}  \\
E_{0}-J \quad \rightarrow \quad \varphi_{2}=\psi_{A}\chi_{S}\\
\end{matrix}
\right.

Dove J è l'integrale di scambio. L'hamiltoniana separa quindi gli stati con spin diverso, e per questo motivo Werner Karl Heisenberg trovò un operatore che distinguesse gli stati con spin diverso e che potesse quindi descrivere la precedente interazione. Tale operatore è:


\mathbf s_{1} \cdot \mathbf s_{2}=
\left\{
\begin{matrix}
-\frac{3}{4} \quad \rightarrow \varphi_{1} \\
\frac{1}{4} \quad \rightarrow \varphi_{2}\\
\end{matrix}
\right.

Da cui l'Hamiltoniana di Heisenberg:

H_{Heisenberg}=-2J \mathbf s_{1} \cdot \mathbf s_{2}

Modello di Weiss[modifica | modifica sorgente]

Il modello di Weiss propone di generalizzare la hamiltoniana di Heisenberg per un sistema con più elettroni utilizzando una approssimazione di campo medio: un elettrone risente di un'interazione dovuta alla media del campo generato dagli altri elettroni.

L'hamiltoniana del sistema diventa quindi:


H_{magn}=g_{0}\mu_{B}\mathbf s(\mathbf r) \cdot \mathbf B - \sum_{\mathbf r'}J(\mathbf r - \mathbf r')\mathbf s(\mathbf r)\mathbf s(\mathbf r') = s(\mathbf r) \cdot \langle g_{0}\mu_{B}\mathbf B - \sum_{\mathbf r'}J(\mathbf r - \mathbf r')\mathbf s(\mathbf r')\rangle=

=s(\mathbf r)g_{0}\mu_{B} \left( \mathbf B - \frac{1}{g_{0}\mu_{B}}\sum_{\mathbf r'}J(\mathbf r - \mathbf r')\mathbf \langle s(\mathbf r')\rangle \right)

dove si è posto  g_{0}, \mu_{B} rispettivamente il fattore giromagnetico e il magnetone di Bohr.

Sostituendo il momento magnetico:

 \mathbf m =-g_{0}\mu_{B}\mathbf s

ed il vettore magnetizzazione:

 \mathbf M= \frac{N}{V}\langle \mathbf m \rangle

si ha:


H_{magn}= - \mathbf m(\mathbf r) \left( \mathbf B + \sum_{\mathbf r'}\frac{J(\mathbf r - \mathbf r')}{(g_{0}\mu_{B})^{2}} \frac{V}{N} \mathbf M \right)

Quindi, in definitiva:


H_{magn}=-\mathbf m(\mathbf r)(\mathbf B + \lambda \mathbf M)

Si nota l'analogia con il paramagnetismo di Langevin, in cui si fa lo stesso studio a patto di sostituire il campo magnetico con un campo magnetico efficace dato da:

\mathbf B + \lambda \mathbf M

Esiste quindi una temperatura critica di Curie:

T_{C}=\frac{J_{0}s(s+1)}{3k}

al di sotto della quale si manifestano gli effetti del ferromagnetismo. Le quantità s e k sono l'autovalore dello spin e la costante di Boltzmann, mentre J_{0} è dato da:

 \sum_{\mathbf r'}\frac{J(\mathbf r - \mathbf r')}{(g_{0}\mu_{B})^{2}}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b c d Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 319
  2. ^ Da cui il termine ferromagnetismo
  3. ^ (EN) Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (Wiley: New York, 1996)
  4. ^ a b Mencuccini, Silvestrini, op. cit., Pag. 316

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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