Seconda quantizzazione

La seconda quantizzazione è un formalismo della meccanica quantistica che va al di là di quello "classico" della sua prima elaborazione.

Il primo formalismo era basato sulla funzione d'onda come vettore di uno spazio di Hilbert nel quale le quantità osservabili divengono operatori lineari. Nella seconda quantizzazione le funzioni d'onda divengono a loro volta operatori di campo di uno spazio di Hilbert chiamato spazio di Fock, o spazio dei numeri d'occupazione. Gli operatori di campo agiscono sugli stati dello spazio di Fock come operatori di creazione e annichilazione di particelle in un dato punto dello spazio e a un dato tempo.

La seconda quantizzazione è il formalismo sul quale sono basate le teorie quantistiche dei campi, quali la Elettrodinamica quantistica o la Teoria a molti corpi.

Operatori di creazione e di annichilazione

In fisica, un operatore di creazione è un operatore che aumenta di uno il numero di particelle di uno stato quantistico. L'operatore di distruzione è al contrario un operatore che riduce di uno il numero di particelle di uno stato ed è l'operatore aggiunto dell'operatore di creazione. L'uso di questi operatori è stato introdotto nel caso del problema dell'oscillatore armonico quantistico, dove sono definiti come gli operatori che aggiungono o rimuovono un quanto di energia al sistema. In seguito il loro uso è stato generalizzato a molti altri problemi e in generale la loro introduzione è alla base della fondazione della teoria quantistica dei campi e della seconda quantizzazione.

Definizione

L'operatore di creazione $\hat{a}^{\dagger}$ e l'operatore di annichilazione $\hat{a}$ possono essere definiti semplicemente sulla base della loro azione quando sono applicati su uno stato quantico. Supponiamo che $|n \rangle$ sia uno stato quantistico contenente $n$ particelle, o $n$ quanti di energia, allora possiamo assumere come definizione implicita dell'operatore di annichilazione la seguente espressione:

$\hat{a} |n \rangle = \sqrt{n} |n-1 \rangle$

ovvero l'operatore di annichilazione applicato allo stato con n particelle, ne ha generato un altro che contiene una particella in meno. In modo assolutamente identico si può mostrare che:

$\hat{a}^{\dagger} |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle$

In questo modo dallo stato fondamentale del sistema, che possiamo - ad esempio nel caso di una teoria di campo delle particelle elementari - identificare con il vuoto, tutti gli altri stati possono essere costruiti applicando l'operatore di creazione:

$|n \rangle = \frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}}{\sqrt(n!)} |0 \rangle$

Bibliografia

• QED and the men who made it, by S.S.Schweber, ISBN 0-691-03327-7
• Principles of quantum mechanics, by P.A.M.Dirac, ISBN 0-19-852011-5
• An introduction to quantum field theory, by M.E.Peskin and H.D.Schroeder, ISBN 0-201-50397-2

Voci correlate

• Quantizzazione canonica
• Operatori di creazione e annichilazione
• Teoria quantistica dei campi
• Elettrodinamica quantistica
• Teoria a molti corpi

Collegamenti esterni

• What is "Relativistic Canonical Quantization"?
• Second quantization - Carlo Maria Becchi (2010)

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