Spazio di Fock

Nella teoria quantistica dei campi lo spazio di Fock è uno spazio di Hilbert usato nel formalismo della seconda quantizzazione per descrivere stati quantistici a numero variabile di particelle.

Lo spazio di Fock è stato introdotto dal fisico Vladimir Fock, che lo descrisse nel testo Konfigurationsraum und zweite Quantelung.

Matematicamente è definito come lo spazio di Hilbert $H$ risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:

$F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}$

dove $S_{\nu }$ è l'operatore di simmetrizzazione o antisimmetrizzazione, dipendentemente dal tipo di particelle descritte: nel caso di bosoni si ha $\nu =+$, nel caso di fermioni $\nu =-$.

La base dello spazio di Fock è costituita dagli stati di Fock.

Definizione

Lo spazio di Fock è definito come lo spazio di Hilbert $H$ risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:

$F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \ldots$

Dove $\mathbb {C}$ rappresentano gli stati privi di particelle, $H$ gli stati di una particella, $S_{\nu }(H\otimes H)$ stati di due particelle identiche, e così via.

Un generico stato in $F_{\nu }(H)$ è dato da:

$|\Psi \rangle _{\nu }=\psi _{0}\oplus |\psi _{1}\rangle \oplus |\psi _{11},\psi _{12}\rangle _{\nu }\oplus \ldots$

dove $\,\psi _{0}$ è un numero complesso, $|\psi _{1}\rangle \in H$, $|\psi _{11},\psi _{12}\rangle _{\nu }\in S_{\nu }(H\otimes H)$, e così via.

Per

$|\Psi \rangle _{\nu }=\psi _{0}\oplus |\psi _{1}\rangle \oplus |\psi _{11},\psi _{12}\rangle _{\nu }\oplus \ldots$

$|\Phi \rangle _{\nu }=\phi _{0}\oplus |\phi _{1}\rangle \oplus |\phi _{11},\phi _{12}\rangle _{\nu }\oplus \ldots$

il prodotto interno su $F_{\nu }(H)$ è definito come

$\langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\psi _{0}^{*}\phi _{0}+\langle \psi _{1}|\phi _{1}\rangle +\langle \psi _{11},\psi _{12}|\phi _{11},\phi _{12}\rangle _{\nu }+\ldots$

dove si è usato il prodotto interno su ognuno degli spazi di Hilbert di ognuna delle $n$ particelle.

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