Misura (matematica)

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In analisi matematica, una misura, talvolta detta misura positiva, è una funzione che assegna un numero reale a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione. In particolare, si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilità ad eventi.

La teoria della misura è la branca dell'analisi reale e complessa che studia sigma-algebre, spazi misurabili, insiemi misurabili, misure, funzioni misurabili ed integrali. La teoria astratta della misura ha come casi particolari la teoria della probabilità, e trova numerose applicazioni in diversi settori della matematica pura ed applicata.

La nozione di misura, e quelle ad essa correlate, sono nate a cavallo tra il XIX secolo ed il XX secolo, nell'ambito appunto della formalizzazione della teoria della misura[1].

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Si definisce misura una funzione \mu definita sopra una sigma-algebra \mathfrak{F} di sottoinsiemi di un certo insieme X a valori nell'intervallo esteso [0, \infty] e numerabilmente additiva.[2]

L'additività numerabile, o σ-additività, significa che se E_1, E_2, \dots è una successione di insiemi mutuamente disgiunti in \mathfrak{F}, allora:

 \mu\left(\bigcup_{i=1}^{+\infty} E_i\right) = \sum_{i=1}^{+\infty} \mu(E_i) .

I membri di \mathfrak{F} sono detti insiemi misurabili, e la struttura (X, \mathfrak{F}, \mu) viene detta spazio di misura.

Una misura complessa è inoltre una funzione numerabilmente additiva a valori complessi definita su una σ-algebra.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Dalla definizione possono essere derivate le seguenti proprietà:

 \mu(\varnothing) = 0
  • Se E_1 ed E_2 sono insiemi misurabili allora se  E_1 \subseteq E_2 si ha \mu(E_1) \leq \mu(E_2)  .
  • Se E_1, E_2, \dots sono insiemi misurabili ed E_n è un sottoinsieme di E_{n+1} per tutti gli n, allora l'unione degli insiemi E_n è misurabile:
 \mu\left(\bigcup_i E_i\right) = \lim_i \mu(E_i)
  • Se E_1, E_2, \dots sono insiemi misurabili ed E_{n+1} è un sottoinsieme di E_n per tutti gli n, allora l'intersezione degli insiemi \{E_n\} è misurabile. Inoltre, se almeno uno degli insiemi ha misura finita allora:
 \mu\left(\bigcap_i E_i\right) = \lim_i \mu(E_i)

Misure prodotto[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Misura prodotto.

Siano (X,\mathfrak{F},\mu) e (Y,\mathfrak{G},\lambda) due spazi di misura. Ad ogni funzione f definita su X \times Y e ad ogni x \in X si può associare la funzione f_x(y) = f(x,y) definita in Y, e per ogni y \in Y si può associare la funzione f_y(x) = f(x,y).[3] Per ogni insieme aperto V \in \mathfrak{G} \times \mathfrak{F} si definisce inoltre:

Q = \{(x,y): f(x,y)\in V \} \qquad Q_x = \{y: f_x(y)\in V \}

Si dimostra che se:

\phi(x) = \lambda(Q_x) \qquad \psi(y) = \mu(Q_y) \qquad \forall x\in X \quad \forall y\in Y

allora \phi è \mathfrak{F}-misurabile e \psi è \mathfrak{G}-misurabile, e si ha:[4]

\int_X \phi d\mu = \int_Y \psi d\lambda \

Si definisce la misura \mu \times \lambda prodotto delle due misure \mu e \lambda l'integrale:[5]

(\mu \times \lambda) (Q) = \int_X \lambda (Q_x) d\mu(x) = \int_Y \mu(Q_y) d\lambda (y)

Il teorema di Fubini[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema di Fubini.

Il teorema di Fubini stabilisce quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione per funzioni misurabili su \mathfrak{G} \times \mathfrak{F}. Siano (X,\mathfrak{F},\mu) e (Y,\mathfrak{G},\lambda) due spazi di misura. Ad ogni funzione f(x,y) che sia \mathfrak{G} \times \mathfrak{F}-misurabile su X \times Y e ad ogni x \in X si può associare una funzione f_x definita in Y nel seguente modo:

f_x(y) = f(x,y) \

Analogamente si definisce per ogni y \in Y la funzione f_y tale che:

f_y(x) = f(x,y) \

Se la funzione f è positiva e se:[6]

\phi(x) = \int_Y f_x d\lambda \qquad \psi(y) = \int_X f_y d\mu

allora \phi è \mathfrak{F}-misurabile e \psi è \mathfrak{G}-misurabile, inoltre:

\int_X \phi d\mu = \int_{X \times Y} f d(\mu \times \lambda) = \int_Y \psi d\lambda

In modo equivalente si può scrivere:

\int_X d\mu(x) \int_Y f(x,y) d\lambda(y) = \int_Y d\lambda(y) \int_X f(x,y) d\mu(x) \

Continuità assoluta[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Continuità assoluta.

Se \mu e \nu sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura \mu si dice assolutamente continua rispetto a \nu se \mu(A)=0 per ogni insieme A per il quale \nu(A)=0. Questa situazione viene presentata con la scrittura \mu \ll \nu.[7]

Se esiste inoltre un insieme B tale per cui:

\mu(E)=\mu(B \cap E)

per ogni insieme E della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su B. Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se \mu_1 e \mu_2 sono mutuamente singolari si scrive \mu_1 \perp \mu_2.

Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se \mu e \nu sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive \mu_1 \perp \mu_2 tali che:

\mu = \mu_1 + \mu_2 \qquad \mu_1 \ll \nu \qquad \mu_2 \perp \nu

Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione h \in L^1(\nu) tale che:

\mu_1(E) = \int_E h d\nu \

per ogni insieme E della sigma-algebra. La decomposizione:

\mu = \mu_1 + \mu_2 \

è detta decomposizione di Lebesgue di \mu relativamente a \nu, ed è unica.[8] La funzione h si dice inoltre derivata di Radon-Nikodym di \mu_1 rispetto \nu.

Il teorema può essere esteso al caso più generale in cui \mu è una misura complessa e \nu è sigma-finita e positiva.[9]

Differenziabilità di una misura[modifica | modifica sorgente]

Sia \mu una misura complessa di Borel su \mathbb{R}^k. Si consideri una famiglia di insiemi E di \mathbb{R}^k tale che il diametro di E sia inferiore a \delta e tale che esiste una palla B contenente E la cui misura di Lebesgue sia inferiore alla misura di E moltiplicata per una costante finita.

Sia A un numero complesso. Si dice che \mu è differenziabile in x \in \mathbb{R}^k e si scrive:[10]

(D\mu)(x)= A \

se, detta m la misura di Lebesgue, per ogni \epsilon > 0 esiste \delta > 0 tale che:

\left | \frac{\mu(E)}{m(E)} - A \right| < \epsilon \quad x \in E

Tale espressione è equivalente al limite in cui il diametro dell'insieme E si annulla, ovvero il limite in cui l'insieme coincide con il punto x.

Si definiscono inoltre la derivata superiore:

(\bar{D}\mu)(x)= \lim_{\delta \to 0} \sup \left[ \frac{\mu(E)}{m(E)} \right]

e la derivata inferiore, ottenuta considerando l'estremo inferiore nella relazione precedente. La misura \mu è differenziabile se le derivate superiore e inferiore coincidono e sono finite, ed in tal caso sono uguali a (D\mu)(x).[11]

Integrale indefinito[modifica | modifica sorgente]

Si dimostra che in \mathbb{R}^k la misura \mu è differenziabile quasi ovunque rispetto a m e che la sua derivata è integrabile secondo Lebesgue. Inoltre, si può definire una misura \mu_s tale che:

\mu_s \perp m \qquad (D\mu_s)(x)=0 \

dove \mu_s \perp m indica che le misure sono mutuamente singolari. Per ogni insieme di Borel E si ha allora:[12]

\mu(E) = \mu_s(E) + \int_E (D\mu)(x)dx \

Come conseguenza di questo fatto, una condizione necessaria e sufficiente alla mutua singolarità \mu \perp m è il fatto che (D\mu_s)(x)=0 quasi ovunque. In generale, due misure sono mutuamente singolari se la derivata di una rispetto all'altra è nulla quasi ovunque.[13]

Inoltre, (D\mu)(x) coincide quasi ovunque con la derivata di Radon-Nikodym se e solo se \mu è assolutamente continua rispetto a m, ed in tal caso:[14]

(D\mu)(x) = \frac{d\mu}{dm} \qquad \mu(E) = \int_E (D\mu)(x)dx \

Se si definisce infine integrale indefinito di f \in L^1(\mathbb{R}^k) l'espressione:[15]

\mu(E) = \int_E (D\mu)(x)dx \

allora la derivata di un integrale indefinito coincide con la funzione integranda, ed inoltre ogni misura \mu che è assolutamente continua rispetto a m coincide con l'integrale della sua derivata.

In generale, se f \in L^1(\mathbb{R}^k) allora:

f(x_0) = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{1}{m(E)}  \int_E (D\mu)(x)dx \right] \quad x_0 \in E

per quasi tutti i punti x_0 \in \mathbb{R}^k.

Sigma-finitezza[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio di misura (X,\mathfrak{F},\mu) si dice finito se \mu(X) è un numero reale finito, mentre si dice σ-finito se X è l'unione numerabile di insiemi misurabili di misura finita. Un insieme in uno spazio di misura si dice avere misura σ-finita se è una unione numerabile di insiemi di misura finita.

Ad esempio, i numeri reali con la usuale misura di Lebesgue sono σ-finiti ma non finiti. Si considerino gli intervalli chiusi [k,k+1] per tutti gli interi k: vi è una quantità numerabile di tali intervalli, ciascuno avente misura 1, e la loro unione è l'intera retta reale. Alternativamente, si considerino i numeri reali con la misura di conteggio, che assegna ad ogni insieme finito di numeri reali il numero di punti nell'insieme. Questa misura non è σ-finita, in quanto ogni insieme con misura finita contiene solo un insieme finito di punti e sarebbe necessario una quantità non numerabile di tali insiemi per coprire l'intera retta reale. Gli spazi di misura σ-finita risultano avere alcune proprietà molto apprezzabili, e la σ-finitezza può essere confrontata alla separabilità degli spazi topologici.

Completezza[modifica | modifica sorgente]

Una misura \mu si dice completa se ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla è misurabile. Il teorema che sta alla base della definizione afferma che se (X,\mathfrak{F},\mu) è uno spazio di misura e \mathfrak{F}^* l'insieme di tutti gli insiemi E \subset X per i quali esistano due insiemi A e B di \mathfrak{F} tali che:

\mu (B - A) = 0 \qquad A \subset E \subset B

allora, definendo \mu (E) = \mu (A), \mathfrak{F}^* è una σ-algebra e \mu una misura su di essa.[16]

La misura \mu estesa in tal modo si dice completa, e \mathfrak{F}^* prende il nome di \mu-completamento di \mathfrak{F}. Dal teorema segue che ogni misura può essere completata.

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

In certi ambiti risulta utile disporre di varianti della misura definita in precedenza che possano assumere valori infiniti o non ristretti al campo reale.

  • Le funzioni su insiemi numerabilmente additive che assumono valori dati da numeri reali sono chiamate misure con segno.
  • Funzioni su insiemi numerabilmente additive che possono assumere valori complessi si dicono misure complesse.
  • Le misure finitamente additive sono misure che, invece della additività numerabile, posseggono soltanto la additività finita. Storicamente questa definizione di misura è stata usata per prima, ma non si è rivelata sufficientemente utile. In generale, le misure finitamente additive sono collegate a nozioni come quella dei limiti di Banach, duale dello spazio L e della compattificazione di Stone-Čech.

Per distinguere una usuale misura a valori positivi dalle sue possibili generalizzazioni si utilizza frequentemente il termine misura positiva.

Un importante risultato della geometria integrale, noto come teorema di Hadwiger, stabilisce che lo spazio delle funzioni di insieme non necessariamente non negative, invarianti per traslazione e finitamente additive che sono definite nell'insieme delle unioni finite di insiemi compatti convessi in \R^n consiste (a meno di multipli scalari) di una misura che è omogenea di grado k per qualsiasi k=0,1,2,...,n e di combinazioni lineari di tali misure. La specificazione "omogeneo di grado k" significa che riscalando di un qualsiasi fattore c>0 tutti gli insiemi si moltiplica la misura di insieme per c^k. La misura omogenea di grado n è l'ordinario volume n-dimensionale, quella omogenea di grado n-1 è il volume di superficie, quella omogenea di grado 1 è una funzione chiamata "ampiezza media" mentre la misura omogenea di grado 0 è infine la caratteristica di Eulero.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Alcune importanti misure sono mostrate nel seguito.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Un breve resoconto dello sviluppo storico della teoria della misura e dell'integrazione si trova testo di Boyer History of Mathematics
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 16
  3. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 138
  4. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 139
  5. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 140
  6. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 141
  7. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 121
  8. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 122
  9. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 124
  10. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 153
  11. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 152
  12. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 154
  13. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 156
  14. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 155
  15. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 157
  16. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 27

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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