Misura complessa

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In matematica, in particolare nella teoria della misura, una misura complessa è una generalizzazione del concetto di misura nella quale si ammette che possa assumere valori complessi.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una misura complessa è una funzione \mu:\mathfrak{F} \to \mathbb{C} numerabilmente additiva a valori complessi definita su una sigma-algebra \mathfrak{F} in un insieme X.[1]

L'additività numerabile, o σ-additività, significa che se E_1,E_2, \dots è una successione di insiemi mutuamente disgiunti in \mathfrak{F}, allora:[2]

 \mu\left(\bigcup_{i=1}^{+\infty} E_i\right) = \sum_{i=1}^{+\infty} \mu(E_i)

Si richiede la convergenza della serie al secondo membro e la convergenza di ogni suo riarrangiamento, tale convergenza è inoltre assoluta.

Variazione di una misura[modifica | modifica sorgente]

Si definisce variazione di una misura o misura di variazione la funzione:[3]

 |\mu|(E) = \sup \sum_{i=1}^{+\infty}| \mu(E_i) |

dove l'unione degli insiemi disgiunti E_i \ è E \in \mathfrak{F}.

Si dimostra che tale funzione è una misura positiva, e gode inoltre della proprietà che:

 |\mu| (X) < \infty

Inoltre, il fatto che:

 |\mu (E)| \le |\mu| (E) \le |\mu| (X)

implica che ogni misura complessa su una sigma-algebra è limitata.

Decomposizione di Jordan[modifica | modifica sorgente]

Si definiscono rispettivamente variazione positiva e variazione negativa di \mu le misure:

\mu^+ = \frac{1}{2}( |\mu| + \mu) \qquad \mu^- = \frac{1}{2}( |\mu| - \mu)

La misura è in questo modo decomposta in due misure positive, e si ha:

\mu = \mu^+ - \mu^- \qquad |\mu| = \mu^+ + \mu^-

Una tale decomposizione è detta decomposizione di Jordan.[4]

Decomposizione polare[modifica | modifica sorgente]

Nello stesso modo in cui un numero complesso può essere rappresentato in forma polare, si può avere una decomposizione polare per una misura complessa. Esiste infatti una funzione misurabile \theta a valori reali tale che:

d\mu = e ^{i \theta}d |\mu|

e dunque si ha:

\int_X f\, d\mu = \int_X  f e ^{i \theta} \, d |\mu|

per ogni funzione assolutamente ingrabile f, cioè tale che:

\int_X |f|\, d|\mu|<\infty

Per la dimostrazione che una variazione è una misura e l'esistenza della decomposizione polare si può usare il teorema di Radon-Nikodym.

Integrazione rispetto ad una misura complessa[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi integrale di Lebesgue.

Si può definire l'integrale di Lebesgue rispetto ad una misura complessa utilizzando il concetto già sviluppato dell'integrale di una funzione a valori reali rispetto a una misura non negativa. A tal fine si dimostra che la parte reale \mu_1 e immaginaria \mu_2 di una misura complessa \mu sono misure con segno a valori finiti. Si può quindi applicare la decomposizione Hahn-Jordan per spezzare tale misura:

\mu_1=\mu_1^+-\mu_1^- \qquad \mu_2=\mu_2^+-\mu_2^-

dove \mu_1^+, \mu_1^-, \mu_2^+ e \mu_2^- sono misure non negative a valori finiti.

L'integrale di Lebesgue può allora essere immediatamente esteso al caso di funzioni complesse. Sia f una funzione dall'insieme misurabile E alla retta reale estesa. Allora è possibile scrivere:

 f = f^+ - f^- \

dove:

 f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{se} \quad  f(x) \geq 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right.
 f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{se} \quad  f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right.

Entrambe le funzioni sono non negative, e si ha:

 |f| = f^+ + f^- \

Sia ora:

 f = u + iv \in L^1(\mu)

dove u e v sono funzioni reali misurabili in E .

Si definisce integrale di Lebesgue di f la relazione:[5]

 \int_E f d \mu = \int_E u^+ d \mu - \int_E u^- d \mu + i\int_E v^+ d \mu - i\int_E v^- d \mu \

per ogni insieme misurabile E .

La definizione è motivata dal fatto che se  f = u + iv con u e v sono funzioni reali misurabili su E, allora f è una funzione complessa e misurabile su E. Inoltre, se f è una funzione complessa e misurabile su E, allora u, v e |f| sono funzioni reali misurabili su E. Questo discende dal fatto che una funzione continua definita dalla composizione di funzioni misurabili è misurabile.[6]

Lo spazio delle misure complesse[modifica | modifica sorgente]

La somma di due misure complesse è una misura complessa, come anche il prodotto di una misura complessa per un numero complesso. L'insieme di tutte le misure complesse su uno spazio misurabile (X,\Sigma) forma quindi uno spazio vettoriale. Definendo la funzione variazione totale \|\mu\| nel seguente modo:

\|\mu\| = |\mu| (X)\,

essa è una norma rispetto alla quale lo spazio delle misure complesse diventa uno spazio di Banach.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 16
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 117
  3. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 118
  4. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 120
  5. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 24
  6. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 11

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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