Sigma additività

In matematica, l'additività e sigma additività (σ-additività) di una funzione definita su dei sottoinsiemi di un insieme dato sono astrazioni delle proprietà della misura (lunghezza, area, volume) di un insieme: la "misura" dell'unione di due insiemi disgiunti non è altro che la somma delle due misure singole.

Definizioni

Sia $\mathcal{A}$ un'algebra di insiemi. Una funzione μ definita su $\mathcal{A}$ a valori in [-∞,∞] (vedi retta reale estesa) è detta (finitamente) additiva se, per ogni A e B disgiunti in $\mathcal{A}$, si ha

$\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B) .$

La funzione è detta numerabilmente additiva o σ-additiva se per ogni successione A₁, A₂, ..., A_n, ... di insiemi disgiunti in $\mathcal{A}$ tali che la loro unione numerabile stia ancora in $\mathcal{A}$ si ha

$\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n),$

Ogni funzione σ-additiva è una funzione additiva, ma non vale il contrario.

Proprietà

Come conseguenza della definizione si ha che una funzione additiva non può prendere sia -∞ che +∞ come valori, perché l'espressione ∞-∞ è indefinita. Si può dimostrare per induzione matematica che una funzione additiva soddisfa

$\mu(\bigcup_{n=1}^N A_n)=\sum_{n=1}^N \mu(A_n)$

per ogni collezione finita A₁, A₂, ..., A_n di insiemi disgiunti in $\mathcal{A}$.

Utili proprietà di una funzione additiva μ sono

1. μ(∅) = 0.
2. Se μ è non negativa e A ⊆ B, allora μ(A) ≤ μ(B).
3. Se A ⊆ B, allora μ(B - A) = μ(B) - μ(A).
4. Dati A e B, μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B) = μ(A) + μ(B).

Esempi

Un esempio di funzione σ-additiva è la funzione μ definita sull'insieme delle parti dei numeri reali, tale che

$\mu (A)= \begin{cases} 1 & \mbox{ se } 0 \in A \\ 0 & \mbox{ se } 0 \notin A. \end{cases}$

Voci correlate

• Misura (matematica)
• Funzione additiva
• Funzione subadditiva

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