Sigma additività

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In matematica, l'additività e σ-additività (sigma additività) di una funzione definita su dei sottoinsiemi di un insieme dato sono astrazioni delle proprietà della misura (lunghezza, area, volume) di un insieme: la "misura" dell'unione di due insiemi disgiunti non è altro che la somma delle due misure singole.

Definizioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia \mathcal{A} un'algebra di insiemi. Una funzione \mu definita su \mathcal{A} a valori in [-\infty,\infty] (vedi retta reale estesa) è detta (finitamente) additiva se, per ogni A e B disgiunti in \mathcal{A}, si ha:

 \mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)

La funzione è detta numerabilmente additiva o σ-additiva se per ogni successione A_1, A_2, \dots A_n di insiemi disgiunti in \mathcal{A} tali che la loro unione numerabile stia ancora in \mathcal{A} si ha:[1]

 \mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)

Ogni funzione σ-additiva è una funzione additiva, ma non vale il contrario.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Come conseguenza della definizione si ha che una funzione additiva non può prendere sia -\infty che +\infty come valori, perché l'espressione \infty - \infty è indefinita. Si può dimostrare per induzione matematica che una funzione additiva soddisfa:

\mu(\bigcup_{n=1}^N A_n)=\sum_{n=1}^N \mu(A_n)

per ogni collezione finita A_1, A_2, \dots A_n di insiemi disgiunti in \mathcal{A}.

Utili proprietà di una funzione additiva \mu sono:

  • \mu (\varnothing = 0).
  • Se \mu è non negativa e A \subset B, allora \mu (A) \le \mu(B).
  • Se A \subset B allora \mu (B-A)=\mu(B)-\mu(A).
  • Dati A e B, \mu (A \cup B) + \mu (A \cap B) = \mu (A) + \mu(B).

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Un esempio di funzione σ-additiva è la funzione \mu definita sull'insieme delle parti dei numeri reali, tale che:

 \mu (A)= \begin{cases} 1 & \mbox{ se } 0 \in A \\ 
                               0 & \mbox{ se } 0 \notin A
\end{cases}

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Se \mathcal{A} è in particolare una σ-algebra, allora l'ipotesi riguardante l'unione degli A_i è sempre verificata.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration, Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
  • (EN) N. Dunford, J.T. Schwartz, Linear operators. General theory, 1, Interscience (1958)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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