Teorema di Radon-Nikodym

In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Radon–Nikodym è un risultato di notevole importanza nell'ambito delle misure assolutamente continue.

Il teorema è di particolare importanza nella teoria della probabilità, in quanto estende l'idea di misure discrete e misure continue di probabilità attraverso il concetto di misura di probabilità su un insieme arbitrario. Tra le applicazioni del teorema vi è inoltre la matematica finanziaria, che lo utilizza nel prezzamento dei derivati.

Il teorema

Il teorema di Radon–Nikodym afferma che se una misura $\nu$ su uno spazio misurabile $(X,\Sigma)$ è assolutamente continua rispetto ad una misura $\mu$ sigma-finita sullo stesso spazio, allora esiste una funzione misurabile $f$ definita su $X$ a valori non negativi tale che:

$\nu (A)=\int_A f d\mu$

per ogni insieme $A \in \Sigma$.

Il teorema è stato dimostrato da Johann Radon nel 1913 nel caso $X=\R^n$ e generalizzato da Otton Nikodym nel 1930.

La funzione $f$ si dice derivata di Radon-Nikodym di $\nu$ rispetto $\mu$ e si indica con $d \nu \over d \mu$.

Proprietà della derivata di Radon-Nikodym

La derivata di Radon-Nikodym gode delle seguenti proprietà:

• Se $\nu \ll \mu$ e $\lambda \ll \mu$ allora:

${d (\nu + \lambda) \over d \mu}= {d \nu \over d \mu} + {d \lambda \over d \mu}$

• Se $\nu \ll \mu\ll \sigma$ allora:

${d \nu \over d\sigma}={d\nu \over d\mu}{d\mu \over d\sigma}$

• Se g è una funzione $\nu$-integrabile su X e $\nu \ll \mu$, con $f=d \nu / d \mu$ allora:

$\int gd\nu=\int gfd\mu$

• Se $\nu$ è una misura con segno o complessa finita allora:

${d|\nu| \over d\mu}=\left|{d\nu \over d\mu}\right|$

Bibliografia

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341
• Georgii Evgen'evich Shilov, e B.L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, tradotto da Richard A. Silverman, Dover Publications, 1978, ISBN 0-486-63519-8.

Voci correlate

• Continuità assoluta
• Funzione misurabile
• Misura (matematica)
• Misura complessa
• Misura con segno
• Misura di probabilità

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