Continuità assoluta

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In matematica, il concetto di continuità assoluta si applica a due concetti distinti.

Continuità assoluta delle funzioni reali[modifica | modifica wikitesto]

In matematica, una funzione a valori reali di una variabile reale è assolutamente continua se per ogni numero positivo \varepsilon piccolo a piacere esiste un numero positivo \delta(\varepsilon) tale che per ogni successione (finita o infinita) di intervalli [x_k,y_k] disgiunti tali che:

\sum_{k} (y_k-x_k)<\delta \

allora:[1]

\sum_{k}\left|f(y_k)-f(x_k)\right|<\varepsilon

Ogni funzione assolutamente continua risulta a variazione limitata e uniformemente continua e, di conseguenza, continua. Ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua, mentre non è vero il viceversa. La funzione di Cantor, ad esempio, è continua in tutto il suo dominio, ma non è assolutamente continua.

Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Dato per ipotesi che una funzione sia a variazione limitata, l'assoluta continuità è condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Una funzione f definita sull'intervallo compatto [a,b] a valori in \R è assolutamente continua se possiede una derivata f' definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:

 f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt \qquad \forall x \in [a,b]

In modo equivalente, esiste una funzione g su [a,b] integrabile secondo Lebesgue tale che:

 f(x) = f(a) + \int_a^x g(t) \, dt \qquad \forall x \in [a,b]

Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:

g=f'

quasi ovunque.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia (X,d) uno spazio metrico e I \subset \R un intervallo. Una funzione f : I \to X è assolutamente continua su I se per ogni numero positivo \epsilon esiste un numero positivo \delta tale che, se una sequenza finita di sotto-intervalli mutuamente disgiunti [x_k,y_k] di I soddisfa:

\sum_{k} \left| y_k - x_k \right| < \delta

allora:

\sum_{k} d \left( f(y_k), f(x_k) \right) < \epsilon

L'insieme delle funzioni assolutamente continue da I a X è denotato con AC(I;X).

Un'ulteriore generalizzazione è lo spazio AC^p(I;X) delle curve f : I \to X tali che:

d \left( f(s), f(t) \right) \leq \int_{s}^{t} m(\tau) \, \mathrm{d} \tau \qquad \forall [s, t] \subseteq I

per qualche m nello spazio L^p(I).

Continuità assoluta delle misure[modifica | modifica wikitesto]

Se \mu e \nu sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura \mu si dice assolutamente continua rispetto a \nu se \mu(A)=0 per ogni insieme A per il quale \nu(A)=0. Questa situazione viene presentata con la scrittura \mu \ll \nu.[2]

In modo equivalente, per ogni \varepsilon > 0 esiste \delta > 0 tale che:

|\mu(E)| < \varepsilon

per ogni insieme E della sigma-algebra tale che:[3]

\nu(E) < \delta \

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Se esiste un insieme B tale per cui:

\mu(E)=\mu(B \cap E)

per ogni insieme E della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su B.

Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se \mu_1 e \mu_2 sono mutuamente singolari si scrive \mu_1 \perp \mu_2.

Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se \mu e \nu sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive \mu_1 \perp \mu_2 tali che:

\mu = \mu_1 + \mu_2 \qquad \mu_1 \ll \nu \qquad \mu_2 \perp \nu

La decomposizione:

\mu = \mu_1 + \mu_2 \

è detta decomposizione di Lebesgue di \mu relativamente a \nu, ed è unica.[4]

Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione h \in L^1(\nu) tale che:

\mu_1(E) = \int_E h d\nu \

per ogni insieme E della sigma-algebra. Il teorema stabilisce, in particolare, che esiste una funzione misurabile f a valori in [0,\infty], denotata con:

f=\frac {d\mu}{d\nu}

tale che per ogni insieme misurabile A si ha:

\mu(A)=\int_A f\,d\nu

La funzione f si dice derivata di Radon-Nikodym di \mu rispetto \nu.

Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misure[modifica | modifica wikitesto]

Una misura \mu sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione:

F(x)=\mu((-\infty,x])

è una funzione reale assolutamente continua.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 165
  2. ^ W. Rudin, Pag. 121
  3. ^ W. Rudin, Pag. 125
  4. ^ W. Rudin, Pag. 122

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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